- •Краткий курс сопротивления материалов
- •Часть 2
- •Глава 1. Перемещения балок при изгибе
- •1.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
- •Итак, две величины υ и θ являются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения балки.
- •1.2. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки
- •1.3. Метод начальных параметров
- •1.4. Энергетические теоремы
- •Понятие о действительном и возможном перемещениях. Работа внешних сил
- •Потенциальная энергия стержня.
- •1.5. Метод Мора
- •1.6. Графический способ вычисления интеграла Мора – способ Верещагина
- •Глава 2. Статически неопределимые балки
- •2.1. Общие понятия
- •2.2. Расчёт методом сил
- •2.3. Многопролётные неразрезные балки
- •Глава 3. Сложное сопротивление прямого бруса
- •3.1. Общие понятия
- •3.2. Косой изгиб
- •3.3. Косой изгиб с растяжением (сжатием)
- •3.4. Внецентренное растяжение (сжатие)
- •3.5. Изгиб с кручением круглого стержня
- •3.6. Изгиб с кручением прямоугольного стержня
- •Глава 4. Устойчивость сжатых стержней
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Определение критической силы методом Эйлера
- •4.3. Зависимость критической силы от способа закрепления концов стержня
- •4.4. Пределы применимости формулы Эйлера. Кривая критических напряжений
- •4.5. Расчёт на устойчивость по допускаемому напряжению
- •4.6. Пример расчёта
- •Определение размеров поперечного сечения
- •Определение грузоподъёмности
- •4.7. О выборе материала и рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней
- •Глава 5. Прочность при повторно-переменных (циклических) напряжениях
- •5.1. Основные понятия. Механизм разрушения
- •5.2. Характеристики цикла. Виды циклов
- •5.3. Экспериментальное определение характеристик сопротивления усталости
- •5.4. Влияние конструктивно-технологических факторов на усталостную прочность
- •5.4.1. Влияние концентрации напряжений
- •5.4.2. Влияние абсолютных размеров детали
- •5.4.3. Влияние состояния поверхности
- •5.5. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и симметричном цикле
- •5.6. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и несимметричном цикле
- •5.7. Расчёт на прочность при плоском напряжённом состоянии
- •Глава 6. Расчёты прочности при динамических нагрузках
- •6.1. Общая характеристика динамических задач
- •6.2. Напряжения в тросе при равноускоренном подъёме груза
- •6.3. Напряжения в тонком кольце при вращении с постоянной скоростью
- •6.4. Характеристики колебательных процессов
- •6.4.1. Число степеней свободы
- •6.4.2. Типы сил
- •6.4.3. Классификация колебаний
- •6.5. Свободные незатухающие колебания системы с одной степенью свободы
- •6.5.1. Поперечные и продольные колебания
- •6.5.2. Крутильные колебания
- •6.6. Свободные затухающие колебания системы с одной степенью свободы
- •6.7. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии периодической возмущающей силы
- •6.7.1. Без учёта затухания
- •6.7.2. С учётом затухания
- •6.8. Критическая частота вращения вала
- •6.9. Приближённое определение частоты собственных колебаний систем со многими степенями свободы
- •6.10. Расчёт на удар
- •6.10.1. Продольный и поперечный удар
- •6.10.2. Скручивающий удар
- •Оглавление
3.6. Изгиб с кручением прямоугольного стержня
Встречается, например, при расчёте коленчатых валов двигателей внутреннего сгорания. Рассмотрим элемент коленчатого вала (рис.3.15), состоящего из двух участков. Первый участок – круглый стержень (шейка вала), защемлённый одним концом с заданной на свободном конце нагрузкой. Второй участок – прямоугольный стержень (щека вала), также заделанный одним концом, нагрузка передаётся от круглого стержня. Задано допускаемое напряжение [σ] и соотношение размеров прямоугольника h/b. Требуется определить размеры поперечных сечений.
Рис.3.15
Сначала рассчитываем круглый стержень, эпюры усилий – на рис.3.16,а.
Первый стержень работает на растяжение с изгибом и кручением. Нормальное напряжение возникает от растяжения и изгиба
. (3.32)
От кручения – касательное напряжение
. (3.33)
Проверка прочности – по III-й и IV-й теориям прочности по формулам (3.26) или (3.27). Используем теорию наибольших касательных напряжений
. (3.34)
а б
Рис.3.16
Поскольку в формуле (3.32) площадь поперечного сечения пропорциональна квадрату диаметра (F = πd2/4), а момент сопротивления W – кубу диаметра (W = 0,1d3), при составлении выражения (3.34) получится кубическое уравнение. Чтобы избежать решения кубического уравнения и учитывая, что напряжения от растяжения, как правило, меньше напряжений от изгиба, можно пренебречь первым слагаемым в формуле (3.32). Тогда диаметр стержня легко определить из формул (3.30) и (3.31):
. (3.35)
Затем нужно полученное значение чуть увеличить в большую сторону и проверить прочность с учётом растяжения по формулам (3.32), (3.33) и (3.34).
Размеры второго прямоугольного стержня определим из условия прочности по нормальным напряжениям, а затем проверим прочность с учётом касательных напряжений. Наибольшее нормальное напряжение имеет место в угловой точке опасного сечения, положение которого определяется по эпюрам усилий (рис.3.16,б). Перед построением эпюр силы переносятся в начало второго стержня. Положение опасной точки определяется по рис.3.17,а, на котором показаны знаки деформаций.
а б
Рис.3.17
Опасная точка – точка А, в ней наибольшее по абсолютной величине напряжение. Считая металл равнопрочным на растяжение и сжатие, используем условие прочности (3.13)
. (3.36)
Чтобы не решать кубическое уравнение, сначала пренебрегаем первым слагаемым и находим размеры b и h. Затем округляем до целых значений в большую сторону и проверяем прочность по (3.36).
Наибольшее касательное напряжение от кручения имеет место в середине длинных сторон и находится по формуле (7.19) первой части курса (рис.3.17,б)
. (3.37)
Из двух точек В и С необходимо проверить прочность в той, в которой больше нормальные напряжения. В точке В
. (3.38)
При вычислении касательного напряжения можно учесть и касательное напряжение от поперечной силы Р, определяемое по формуле Журавского (5.29) первой части курса. Итак, в точке В
. (3.39)
Далее проверяем прочность по (3.34).
В середине коротких сторон в точках Е и D касательное напряжение от кручения несколько меньше максимального
τ = γτmax. (3.40)
В точке D нормальное напряжение больше, чем в точке Е (рис.3.17,а), поэтому находим
, .
И проверяем прочность по (3.34):
.
Знак в формулах для τ зависит от того, совпадает ли направление поперечной силы с направлением касательного напряжения от кручения (см.рис.3.16,б и рис.3.17). Впрочем, касательное напряжение от поперечной силы можно и не учитывать. В случае невыполнения условия прочности необходимо увеличить размеры поперечного сечения и повторить расчёт.