- •Краткий курс сопротивления материалов
- •Часть 2
- •Глава 1. Перемещения балок при изгибе
- •1.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
- •Итак, две величины υ и θ являются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения балки.
- •1.2. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки
- •1.3. Метод начальных параметров
- •1.4. Энергетические теоремы
- •Понятие о действительном и возможном перемещениях. Работа внешних сил
- •Потенциальная энергия стержня.
- •1.5. Метод Мора
- •1.6. Графический способ вычисления интеграла Мора – способ Верещагина
- •Глава 2. Статически неопределимые балки
- •2.1. Общие понятия
- •2.2. Расчёт методом сил
- •2.3. Многопролётные неразрезные балки
- •Глава 3. Сложное сопротивление прямого бруса
- •3.1. Общие понятия
- •3.2. Косой изгиб
- •3.3. Косой изгиб с растяжением (сжатием)
- •3.4. Внецентренное растяжение (сжатие)
- •3.5. Изгиб с кручением круглого стержня
- •3.6. Изгиб с кручением прямоугольного стержня
- •Глава 4. Устойчивость сжатых стержней
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Определение критической силы методом Эйлера
- •4.3. Зависимость критической силы от способа закрепления концов стержня
- •4.4. Пределы применимости формулы Эйлера. Кривая критических напряжений
- •4.5. Расчёт на устойчивость по допускаемому напряжению
- •4.6. Пример расчёта
- •Определение размеров поперечного сечения
- •Определение грузоподъёмности
- •4.7. О выборе материала и рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней
- •Глава 5. Прочность при повторно-переменных (циклических) напряжениях
- •5.1. Основные понятия. Механизм разрушения
- •5.2. Характеристики цикла. Виды циклов
- •5.3. Экспериментальное определение характеристик сопротивления усталости
- •5.4. Влияние конструктивно-технологических факторов на усталостную прочность
- •5.4.1. Влияние концентрации напряжений
- •5.4.2. Влияние абсолютных размеров детали
- •5.4.3. Влияние состояния поверхности
- •5.5. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и симметричном цикле
- •5.6. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и несимметричном цикле
- •5.7. Расчёт на прочность при плоском напряжённом состоянии
- •Глава 6. Расчёты прочности при динамических нагрузках
- •6.1. Общая характеристика динамических задач
- •6.2. Напряжения в тросе при равноускоренном подъёме груза
- •6.3. Напряжения в тонком кольце при вращении с постоянной скоростью
- •6.4. Характеристики колебательных процессов
- •6.4.1. Число степеней свободы
- •6.4.2. Типы сил
- •6.4.3. Классификация колебаний
- •6.5. Свободные незатухающие колебания системы с одной степенью свободы
- •6.5.1. Поперечные и продольные колебания
- •6.5.2. Крутильные колебания
- •6.6. Свободные затухающие колебания системы с одной степенью свободы
- •6.7. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии периодической возмущающей силы
- •6.7.1. Без учёта затухания
- •6.7.2. С учётом затухания
- •6.8. Критическая частота вращения вала
- •6.9. Приближённое определение частоты собственных колебаний систем со многими степенями свободы
- •6.10. Расчёт на удар
- •6.10.1. Продольный и поперечный удар
- •6.10.2. Скручивающий удар
- •Оглавление
1.3. Метод начальных параметров
Запишем формулу (1.5) в виде
(1.9)
Если принять гипотезу, что EJ = const, то дифференциальное уравнение (1.9) даёт
Нагрузка q считается положительной, если совпадает с осью y, направленной вверх. При выводе уравнения метода начальных параметровбудем исходить из последней формулы
(1.10)
Первый участок.
Считаем, что на этом участке, , нагрузка постоянна, , рис.1.3.
Интегрируя уравнение (1.10) четыре раза, получаем
(а)
Произвольные постоянные интегрирования будем искать из граничных условий в начале координат, при x = 0. Т.е. в начале координат прогиб равен , угол поворота , изгибающий момент , поперечная сила .
Подстановка граничных условий даёт
(1.11)
Их дальнейшая подстановка в (а) приводит последние к виду (формулы (б), слева)
Первый участок |
Второй участок |
|
|
(б) |
|
Рис.1.4
|
Эпюра Q от P0 и P1 |
|
Эпюра M от M0 и M1 |
|
Скачок в угле поворота |
|
Скачок в прогибе |
Рис.1.5
Как видно из рис.1.4, интегрирование нагрузки q на втором участке представляет собой перекрещенную нижнюю площадь, равную , что написано слева в формулах (б), и перекрещенную верхнюю площадь, равную , что написано справа в формулах (б), где ещё добавлена произвольная постоянная в дополнение к , написанной слева. Дальнейшее интегрирование добавляет степень переменной и дополнительные постоянные интегрирования: .Рассмотрим их физический смысл.
Произвольная постоянная представляет собой скачок в эпюре Q, вызванный внешней силой P1. Соответственно - скачок в эпюре моментов, вызванный внешним моментом M1. Скачки и показаны на чертеже, однако в рассматриваемых ниже балках они редко встречаются, поэтому их учитывать не будем.
Окончательная формула начальных параметров выглядит следующим образом
(1.11)
Здесь k – число промежуточных границ между началом и концом балки. Знак обозначает, что эти слагаемые следует принимать во внимание, если . Значок перед моментом Mi, поперечной силой Qi и распределённой нагрузкой qi обозначает скачок в опорах этих функций.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
|
|
Рис.1.6 |
Рис.1.7 |
Определить перемещения и угол поворота балки, рис.1.6 в точке B.
Сначала определяем реакции в опоре и . Показываем внутренние усилия Q0, M0, ΔQ с учётом принятого правила знаков (рисунок справа). Составляем граничные условия.
Подставляем их в уравнение (1.11)
(а)
Для определения прогиба в точке B подставляем сюда координату x=l.
Знак минус свидетельствует о том, что прогиб направлены в противоположную сторону оси y. Для определения угла поворота продифференцируем уравнение (а)
Подставляя координату точки B x=l, получим
Пример 2.
Определить прогиб балки в точке B и угол поворота в точке C, рис.1.8.
Рис.1.8 |
Сначала определяем реакции. Учитывая симметрию получаем и составляем граничные условия |
Подставляем граничные условия в уравнение (1.11)
(б)
В этом уравнении остаётся неизвестной величиной (см. (1.11)), которую пытались определить из граничных условий в начале координат, при . Не удалось. Определим её из граничного условия при , где прогиб с помощью уравнения (б).
;
;
Подставив полученный результат в (б), получим окончательное уравнение
(в)
для поставленных задач. Для вычисления прогиба в точке B подставляем её координату
; .
Знак минус свидетельствует о том, что направление прогиба не совпадает с направлением оси y.
Для определения угла поворота необходимо продифференцировать уравнение (в)
Теперь подставляем в полученное уравнение координату точки C .
;