2. Потенциальная энергия стержня.

Теоремы Кастильяно и Лагранжа.

График, приведённый на рис.1.9,б, представляет собой закон Гука для того или иного вида деформации стержня. Работа, затраченная на деформирование объекта, определяется формулой теоремы Клапейрона (1.14). При отсутствии энергетических потерь и постоянных внутренних усилий она равна потенциальной энергии деформации стержня U:

• для осевой деформации U = 0,5N∆ℓ; ;

• для кручения U = 0,5М_крφ; ; (1.19)

• для изгиба U = 0,5Мθ; .

Если закон Гука не соблюдается, что, например, имеет место при расчёте устойчивости стержней, то вместо диаграммы приведённой на рис.1.9 будем иметь диаграмму, рис.1.12.

	Здесь U – представляет собой потенциальную энергию, а U^* – так называемую дополнительную работу. Дадим возможное перемещение ∂Δ, тогда получим приращение потенциальной энергии ∂U. Из чертежа видно, что ∂U = P∂Δ, откуда получаем соотношение (1.20)
Рис.1.12

Это и есть теорема Лагранжа.

С другой стороны, если в соответствии с принципом возможных изменений напряжённого состояния дадим приращение внешней силе ∂P, то как видно из чертежа, . Отсюда получаем теорему Кастильяно

(1.21)

Поскольку в сопротивлении материалов в основном рассматриваются материалы, подчиняющиеся закону Гука, где U^*=U, то теорема Кастильяно записывается следующей формулой

(1.22)

Будем называть её рабочей формулой.

Потенциальная энергия изгиба стержня вычисляется по формуле

(1.23)

Аналогичный (рис.1.6) график будет иметь место, когда работу совершает момент на угле поворота, тогда по вертикальной оси откладываем момент внешних сил M, а по горизонтальной оси угол θ. Так что в формуле (1.22) ∂P - представляем собой обобщённую силу (либо сосредоточенную силу, либо момент), а Δ – обобщённое перемещение (либо прогиб , либо угол поворота).

Рассмотрим несколько примеров использования теоремы Кастильно.

Пример 1.

Определить перемещение балки в точке B, где приложена сила P.

; ;

;

Пример 2.

Определить перемещение в точке B, рис.1.13 с помощью теоремы Кастильяно.

Рис.1.13

Для решения задачи в точке B вводим фиктивную

силу и вычисляем величину изгибающего момента , где

, (1.24)

Одновременно подготовим производные

,

Вычисляем потенциальную энергию

Подставляем в формулу Кастильяно

Подставляя сюда и приравнивая фиктивную силу и соответственно , получаем

Результат совпадает с расчётом по методу начальных параметров (пример 1). Полученный знак «+» свидетельствует о том, что прогиб совпадает с направлением силы .

1.5. Метод Мора

Как видно из приведённого второго примера, использование теоремы Кастильяно иногда приводит к громоздким вычислениям. Несколько упрощает эту процедуру и делает её более прозрачной излагаемый ниже способ Мора.

Поставлена задача: для упругой системы, нагруженной внешней нагрузкой, например, силой P, рис.1.14а, определить перемещение точки C по направлению AB. Это нагружение назовём первым состоянием.

а)

б)

Рис.1.14

В сечении на расстоянии x будут возникать внутренние силы N_p, Q_p, M_p^из,M_p^кр, а элемент длиной dx будет испытывать деформацию растяжения, сдвига, изгиба и кручения

; ; ;

Во втором состоянии приложим в точке C по направлению AB единичную силу . В результате этого нагружения в том же сечении будут возникать внутренние силы, которые обозначим чертой сверху: , , , . Деформации элемента dx будут определяться по аналогичным формулам и т.д.

Воспользуемся теперь теоремой о взаимности возможных работ (1.16): вычислим работу сил второго состояния, , на перемещении, вызванном силами первого состояния, Δ, и сравним с работой сил первого состояния N_p, Q_p и т.д. на перемещениях вызванных силами второго состояния, т.е. на , и т.д. В результате получим

Поскольку , этот сомножитель можно отбросить и тогда интеграл Мора приобретает окончательный вид

(1.25)

Здесь Δ – обобщённое перемещение (либо прогиб , либо угол поворота ). Если определяется линейное перемещение , то в этой точки по заданному направлению следует приложить единичную силу, если угол поворота, необходимо приложить единичный момент . Под знаком интеграла буква l означает интегрирование по всей длине.

Формула (1.25) содержит ряд частных случаев. Например, если рассматривается ферменная конструкция, в которой возникают лишь продольные силы, то

При изгибе достаточно длинных балок основное влияние оказывает изгибающие моменты

(1.26)

Этой формулой и будем пользоваться в дальнейшем. Рассмотрим несколько примеров.

Один из них тот, который был решён с помощью теоремы Кастильяно: определить перемещение .

Формируем I и II состояния. I состояние – это заданное (рис.1.15а). Для II состояния в точке B вдоль координаты y либо вверх, либо вниз прикладываем .

Вычисляем моменты внутренних сил в соответствии с принятым правилом знаков

а)

б)

Рис.1.15

1 участок	2 участок

и подставляем в (1.26)

Полученный результат по абсолютной величине совпадает с решением по теореме Кастильяно. Знак минус свидетельствует о том, что принятое здесь направление единичной силы противоположно перемещению. Если силу с самого начала направить вниз, то результат будет положительным.