6.5. Свободные незатухающие колебания системы с одной степенью свободы
6.5.1. Поперечные и продольные колебания
Рассмотрим самую простую расчётную схему, в которой действуют лишь сила инерции I и сила упругости F. Эта модель позволяет изучить динамические характеристики многих конструкций.
а б
Рис.6.8
На рис.6.8,а показана консольная невесомая балка с сосредоточенной массой m на свободном конце. Если массу m отклонить от положения равновесия и отпустить, то балка вместе с массой начнёт колебаться. Эти свободные или собственные колебания будут продолжаться вечно, т.к. мы не учитываем силу сопротивления. В реальности колебания быстро затухают.
В произвольный момент времени масса отклоняется от положения равновесия на расстояние υ, при этом на неё действует сила инерции
, (а)
и сила упругости F:
, (б)
где δ11 – прогиб от силы, равной единице, приложенной в точке прикрепления массы. Величину δ11 легко определить методом Мора-Верещагина (см. главу 1).
В соответствии с принципом д’Аламбера запишем уравнение статики:
∑υ = 0; F –
I = 0;
,
откуда
. (6.8)
Множитель перед υ есть квадрат частоты свободных колебаний
. (6.9)
Окончательно дифференциальное уравнение свободных колебаний имеет вид:
. (6.10)
То же самое уравнение описывает продольные колебания, только вместо прогиба балки υ надо поставить удлинение стержня ∆ℓ или осадку пружины λ (рис.6.7,а).
Важно определять частоту собственных колебаний ω, чтобы судить о возможности появления резонанса в процессе эксплуатации машины. Из формулы (6.9)
, (6.11)
где c = 1/δ11 – жёсткость упругой системы. Жёсткость – это значение внешней силы, которая вызывает перемещение, равное единице.
Формулу (6.11) можно представить в ином виде, если учесть, что m = P/g и P ∙ δ11 = υст – перемещение от статического приложения силы
, (6.12)
где g – ускорение силы тяжести (g = 9,8 м/с2 = 980 см/с2).
Таким образом, определение частоты свободных колебаний сводится к вычислению жёсткости упругой конструкции.
Для рассмотренной нами консольной балки
,
,
размерность ω – 1/с.
Для балки на рис.6.3,б
,
.
В этих формулах Е – в кН/см2,
J – в см4, ℓ
– в см и m – в кг.
Для стержня на рис.6.7,а
(закон Гука при растяжении),
.
Для пружины на рис.6.7,а
,
,
где G – модуль сдвига,
r – радиус проволоки,
R – радиус винтовой
оси, n – число витков
пружины.
Теперь запишем решение уравнения (6.10). Оно известно из курса дифференциальных уравнений
, (6.13)
где
υ0 – перемещение в начальный
момент времени,
– скорость движения в начальный момент
времени t = 0. График
функции υ представлен на рис.6.8,б.
Уравнение (6.13)можно привести к другому виду, если принять
(6.14)
Подставим (6.14) в (6.13)
.
Окончательно получим следующее уравнение колебаний
. (6.15)
Из уравнения (6.15) и графика на рис.6.8,б следует, что наибольшее отклонение будет при sin (ωt + ν) = 1 и составит υmax = А. Таким образом, А – амплитуда колебаний, Т – период колебаний, через каждые Т секунд отклонение υ принимает прежнее значение. Очевидно, что ωТ = 2π, откуда число колебаний в 2π секунд равно
.
Найдём амплитуду колебаний, для этого возведём в квадрат и сложим две строки (6.14)
Выражение в скобках равно единице, поэтому
. (6.16)
Начальная фаза колебаний ν может быть найдена, если первую строчку (6.14) поделить на вторую
. (6.17)
Получим выражение для амплитуды колебаний А в иной форме. Подсчитаем первую и вторую производные от функции υ, записанной по формуле (6.15)
.
Подставим функцию и её вторую производную в дифференциальное уравнение (6.8)
,
,
. (в)
Теперь запишем выражение для силы инерции
.
Наибольшая сила инерции при sin (ωt + ν) = 1
Imax = mАω2.
Возвращаясь к выражению (в), получаем
А = Imax ∙ δ11. (6.18)
Амплитуда колебаний равна статическому перемещению от наибольшей силы инерции.