- •Краткий курс сопротивления материалов
- •Часть 2
- •Глава 1. Перемещения балок при изгибе
- •1.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
- •Итак, две величины υ и θ являются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения балки.
- •1.2. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки
- •1.3. Метод начальных параметров
- •1.4. Энергетические теоремы
- •Понятие о действительном и возможном перемещениях. Работа внешних сил
- •Потенциальная энергия стержня.
- •1.5. Метод Мора
- •1.6. Графический способ вычисления интеграла Мора – способ Верещагина
- •Глава 2. Статически неопределимые балки
- •2.1. Общие понятия
- •2.2. Расчёт методом сил
- •2.3. Многопролётные неразрезные балки
- •Глава 3. Сложное сопротивление прямого бруса
- •3.1. Общие понятия
- •3.2. Косой изгиб
- •3.3. Косой изгиб с растяжением (сжатием)
- •3.4. Внецентренное растяжение (сжатие)
- •3.5. Изгиб с кручением круглого стержня
- •3.6. Изгиб с кручением прямоугольного стержня
- •Глава 4. Устойчивость сжатых стержней
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Определение критической силы методом Эйлера
- •4.3. Зависимость критической силы от способа закрепления концов стержня
- •4.4. Пределы применимости формулы Эйлера. Кривая критических напряжений
- •4.5. Расчёт на устойчивость по допускаемому напряжению
- •4.6. Пример расчёта
- •Определение размеров поперечного сечения
- •Определение грузоподъёмности
- •4.7. О выборе материала и рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней
- •Глава 5. Прочность при повторно-переменных (циклических) напряжениях
- •5.1. Основные понятия. Механизм разрушения
- •5.2. Характеристики цикла. Виды циклов
- •5.3. Экспериментальное определение характеристик сопротивления усталости
- •5.4. Влияние конструктивно-технологических факторов на усталостную прочность
- •5.4.1. Влияние концентрации напряжений
- •5.4.2. Влияние абсолютных размеров детали
- •5.4.3. Влияние состояния поверхности
- •5.5. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и симметричном цикле
- •5.6. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и несимметричном цикле
- •5.7. Расчёт на прочность при плоском напряжённом состоянии
- •Глава 6. Расчёты прочности при динамических нагрузках
- •6.1. Общая характеристика динамических задач
- •6.2. Напряжения в тросе при равноускоренном подъёме груза
- •6.3. Напряжения в тонком кольце при вращении с постоянной скоростью
- •6.4. Характеристики колебательных процессов
- •6.4.1. Число степеней свободы
- •6.4.2. Типы сил
- •6.4.3. Классификация колебаний
- •6.5. Свободные незатухающие колебания системы с одной степенью свободы
- •6.5.1. Поперечные и продольные колебания
- •6.5.2. Крутильные колебания
- •6.6. Свободные затухающие колебания системы с одной степенью свободы
- •6.7. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии периодической возмущающей силы
- •6.7.1. Без учёта затухания
- •6.7.2. С учётом затухания
- •6.8. Критическая частота вращения вала
- •6.9. Приближённое определение частоты собственных колебаний систем со многими степенями свободы
- •6.10. Расчёт на удар
- •6.10.1. Продольный и поперечный удар
- •6.10.2. Скручивающий удар
- •Оглавление
1.2. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки
Чтобы получить аналитические выражения прогибов и углов поворота сечений, необходимо найти решение дифференциального уравнения (1.5).
Интегрируя его первый раз, получим
. (1.6)
Это выражение определяет закон изменения углов поворота сечений (касательной) по длине балки. Уравнение изогнутой оси получим после повторного интегрирования
. (1.7)
Для вычисления интегралов в выражениях (1.6) и (1.7), необходимо сначала написать аналитические выражения изгибающего момента и жёсткости. Постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий, которые зависят от способа закрепления балки.
Для уяснения сказанного рассмотрим примеры:
Определим прогибы и углы поворота сечений балки, показанной на рис.1.1. Считаем жёсткость балки постоянной: EJ = const. Запишем уравнение изгибающего момента
M = – MA + RA ∙ x = – Pℓ + Px. (a)
Дифференциальное уравнение
. (б)
Интегрируя один раз, получим
. (в)
Интегрируя ещё раз, имеем
. (г)
Так как в заделке прогиб и угол поворота равны нулю, то для определения постоянных имеем следующие граничные условия:
при х = 0 ;
при х = 0 υ = 0.
Из уравнений (в) и (г) получим C = D = 0.
Очевидно, что наибольший прогиб имеет место под силой (см.рис.1.1). Подставив х = ℓ в уравнение (г), найдём
.
Знак «–» говорит о том, что перемещение происходит вниз (в отрицательном направлении оси υ).
Определим прогибы и углы поворота сечений двухопорной балки постоянного сечения, нагруженной равномерно распределённой нагрузкой (рис.1.3).
Рис.1.3
.
.
Так как EJ = const, ;
. (д)
. (е)
На опорах прогиб равен нулю, граничные условия:
при х = 0 υ = 0;
при х = ℓ υ = 0.
Из первого условия следует, что D = 0, из второго условия: . Следовательно, .
Найденные значения С и D подставим в уравнения (д) и (е) и получим готовые к употреблению уравнения углов поворота сечений и прогибов:
,
.
Из рис.1.3 видно, что наибольший по величине угол поворота сечения имеет место на опоре при х = 0:
;
а наибольший прогиб в середине пролёта при х = ℓ/2:
,
.
Из рассмотренных примеров очевидно, что постоянные интегрирования С и D имеют физический смысл: С – угол поворота сечения в начале координат (уравнения (в) и (д)); D – прогиб в начале координат (уравнения (г) и (е))
С = EJθ0 , D = EJυ0 . (1.8)
В наших примерах балки имели по одному участку. В случае произвольной нагрузки необходимо составить несколько дифференциальных уравнений, каждое из которых отвечает своему участку. Число постоянных равно удвоенному числу участков. Граничные условия приведут к системе уравнений, число которых равно числу постоянных интегрирования. Однако необходимость решения системы уравнений сильно усложняет задачу. Для балок постоянной жёсткости (EJ = const) была предложена такая форма представления решения дифференциального уравнения, которая обеспечивает равенство постоянных интегрирования на границах участков. При любом числе участков – две постоянных (1.8).