Глава 4. Устойчивость сжатых стержней

4.1. Основные понятия

Изучая сжатие стержней, мы можем наблюдать качественно различные картины деформирования. При возрастании сжимающей силы короткий «толстый» стержень будет сплющиваться (рис.4.1,а) в то время, как длинный «тонкий» стержень в какой-то момент изогнётся (рис.4.1,б) и сломается. Произошла потеря устойчивости.

Устойчивость – это способность сохранять первоначально заданную форму равновесия. Если малые возмущения вызовут малые отклонения от расчётного (невозмущённого) состояния, то это состояние системы является устойчивым.

а б Рис.4.1

Наоборот, если при малых возмущениях возникнут большие отклонения системы от расчётного состояния, то последнее является неустойчивым.

Наглядным примером может служить поведение тяжёлого шарика, лежащего на различных поверхностях (рис.4.2). Если шарик лежит на вогнутой цилиндрической поверхности (рис.4.2, а), то при любом малом отклонении он стремится вернуться в исходное состояние, следовательно, равновесие шарика устойчивое. Если шарик лежит на плоскости (рис.4.2, б), то при малом отклонении он остаётся в новом положении, следовательно, равновесие шарика безразличное. Наконец, если попытаться установить шарик на выпуклую цилиндрическую поверхность (рис.4.2, в), он обязательно скатится – равновесие неустойчивое.

а б в

Рис.4.2

Шарик иллюстрирует поведение сжатого стержня (рис.4.3). По мере роста силы можно отметить три характерные ситуации в зависимости от значения силы: Р₁ < Р_кр, Р₂ = Р_кр и Р₃ > Р_кр. Р_кр – критическая сила.

а б в

Рис.4.3

Если Р < Р_кр, то отклоняя стержень какой-либо силой и затем устраняя её, возбуждаем затухающее колебательное движение около первоначального прямолинейного положения – устойчива прямолинейная форма равновесия (рис.4.3,а). Чем ближе Р к Р_кр, тем легче отклонить стержень от его прямолинейного положения и тем медленнее он возвращается в исходное положение. При Р = Р_кр стержень оказывается в состоянии безразличного равновесия (рис.4.3,б). Это означает, что наряду с прямолинейной становится возможной и бесконечно близкая к ней искривлённая форма равновесия. Возникновение безразличного состояния равновесия рассматриваем как потерю устойчивости прямолинейной формы равновесия. При Р > Р_кр (рис.4.3,в) становится устойчивой криволинейная форма равновесия. Это явление называют ещё продольным изгибом.

Продольный изгиб опасен тем, что происходит быстрое нарастание прогиба при малом нарастании сжимающей силы. Прогибы и нагрузка связаны между собой нелинейной зависимостью. Быстрое нарастание прогибов приводит к быстрому нарастанию напряжений от изгиба и к разрушению. Продольный изгиб (потеря устойчивости) – это катастрофа для конструкции.

История техники знает немало случаев крушения сооружений из-за неправильного расчёта их элементов на устойчивость. Например, крушение Квебекского моста через реку Святого Лаврентия в 1907 г. – погибли 74 человека, 9000 тонн металлоконструкций пришло в негодность.

Потеря устойчивости как явление природы отличается большим многообразием (рис.4.4). Цилиндрическая оболочка под действием сжимающего гидростатического давления (рис.4.4,а) при q > q_кр сплющивается и превращается в эллипс.

На рис.4.4,б показана высокая балка, испытывающая изгиб в вертикальной плоскости (плоский изгиб). По достижении силой критического значения плоская форма изгиба становится неустойчивой, появляются дополнительный изгиб в горизонтальной плоскости и кручение – балка опрокидывается.

а б в г

Рис.4.4

На рис.4.4,в показана пологая мембрана под действием силы Р, приложенной навстречу выпуклости. По достижении силой значения Р_кр происходит потеря устойчивости – мгновенное прощёлкивание мембраны, выпуклость её оказывается обращённой в сторону, противоположную первоначальному направлению. Новая форма устойчивого равновесия не является смежной, есть конечная разница в прогибах, соответствующих им.

Ещё один случай – потеря устойчивости под действием следящей силы (рис.4.4,г): при любой деформации стержня сила направлена вдоль касательной к его оси («следит» за деформацией). Обычно сила не меняет направление (рис.4.1,б). Можно сказать, что это расчётная схема ракеты или торпеды. По достижении силой критического значения прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой, а новой устойчивой формы равновесия не возникает – система переходит в состояние колебательного движения с возрастающей амплитудой.

Ниже рассмотрим самую простую и в то же время самую распространённую в технике задачу об устойчивости прямолинейных сжатых стержней.