4.5. Расчёт на устойчивость по допускаемому напряжению

Центрально сжатые стержни средней и большой гибкости теряют устойчивость раньше, чем прочность, поэтому нельзя допустить возникновения в них критического напряжения и обеспечить запас устойчивости.

Условие устойчивости сжатого стержня имеет вид

, (4.19)

где

. (4.20)

В формуле (4.20) [σ]_у – допускаемое напряжение на устойчивость, n_у – коэффициент запаса на устойчивость. Этот коэффициент всегда принимают несколько больше основного коэффициента запаса на прочность в формуле допускаемого напряжения при сжатии

. (4.21)

где σ₀ – напряжение, соответствующее наступлению опасного (предельного) состояния (для пластичного материала σ₀ = σ_Т – пределу текучести, для хрупкого σ₀ = σ_ПЧ – пределу прочности);

n – коэффициент запаса прочности.

Допускаемое напряжение на устойчивость [σ]_у и допускаемое напряжение на сжатие [σ_-] взаимно связаны. Составим их отношение:

, или . (4.22)

Обозначив

, (4.23)

получим

[σ]_у = φ[σ_-]. (4.24)

где φ – коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения при расчёте на устойчивость (коэффициент продольного изгиба).

Обратившись к графику критических напряжения на рис.4.8 и к аналогичному для любого материала, можно вычислить φ при всех значениях гибкости λ. Таким образом, φ меняется в пределах от нуля до единицы и зависит от материала и гибкости стержня. Представлен в виде таблицы, имеющейся в справочниках и учебниках.

Условие устойчивости сжатого стержня (4.19) с учётом (4.24) можно окончательно записать в виде:

. (4.25)

Индекс БР означает, что при расчётах на устойчивость не надо учитывать ослабление сечения (например, за счёт отверстий под заклёпки), а брать полную площадь поперечного сечения или площадь брутто.

4.6. Пример расчёта

1. Определение размеров поперечного сечения

В расчётной формуле (4.25) имеются две неизвестных величины – искомая площадь F (индекс БР опускаем) и коэффициент φ. Поэтому приходится пользоваться методом последовательных приближений, варьируя величину φ. Обычно в первой попытке задают φ₁ = 0,5  0,6. Определяют площадь F, размеры сечения и гибкость λ. По λ в справочнике находят фактическое значение φ′₁. Если оно отличается от φ₁, следует повторить расчёт, приняв среднее по величине значение

.

Далее находят φ′₂ и всё повторяют до тех пор, пока не будет выполняться условие φ = φ′. Этот процесс быстро сходится и, как правило, требуется не более трёх попыток.

Необходимо подобрать размеры поперечного сечения стержня (рис.4.10,а). Материал – чугун, [σ] = 10 кН/см²; форма сечения – труба (рис.4.10,б), D = 1,4d.

Расчёт начинаем с определения геометрических характеристик сечения:

• площадь сечения ;

• момент инерции ;

• радиус инерции .

а б

Рис.4.10

Из условия устойчивости (4.25) найдём площадь поперечного сечения F:

.

1. Принимаем φ₁ = 0,5.

; ; .

Гибкость (μ = 0,7 по табл.4.1):

 φ′₁ = 0,69; φ′₁ ≠ φ₁,

поэтому переходим ко второму приближению

2. Принимаем .

; ; .

Гибкость

. В справочнике λ изменяется с шагом 10, поэтому для определения φ, соответствующего λ =47, делаем линейную интерполяцию:

λ	φ	.
40 50	0,69 0,57

Получили φ′₂ = φ₂, расчёт закончен. Таким образом, хватило двух приближений. Сделаем окончательную проверку по напряжениям:

, .

Условие устойчивости σ ≤ φ[σ]выполняется. Округляем размеры чугунной трубы в большую сторону: внутренний диаметр d = 107 мм, наружный диаметр D = 150 мм.