4.4. Пределы применимости формулы Эйлера. Кривая критических напряжений

Формула Эйлера, полученная 260 лет назад, долгое время являлась предметом дискуссий, продолжавшихся до первых десятилетий XIX века. Причиной споров являлось то обстоятельство, что она не всегда подтверждалась экспериментами. Были даже аварии мостов в связи с потерей устойчивости раскосов ферм, рассчитанных по формуле Эйлера. А дело было в том, что инженеры того времени не обратили внимание на некоторые ограничения по применению этой формулы, которые автор специально не оговаривал.

Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения упругой линии. Поэтому пользоваться этой формулой можно лишь в том случае, если справедлив закон Гука, т.е. пока критическое напряжение (напряжение сжатия, соответствующее критической силе) не превышает предела пропорциональности.

. (4.11)

Если прямолинейная форма равновесия стержня остаётся устойчивой и при напряжениях, превышающих предел пропорциональности, то дифференциальное уравнение (4.1) не пригодно для описания изгиба при потере устойчивости.

Выведем формулу для критического напряжения σ_кр. Подставим (4.10) в (4.11) и получим

, (4.12)

где – квадрат наименьшего радиуса инерции стержня (см.(4.21) в первой части).

Вводя безразмерную величину

, (4.13)

называемую гибкостью стержня, окончательно получим:

. (4.14)

Из условия применимости формулы Эйлера (4.11) имеем:

,

и, следовательно,

. (4.15)

Найдём значение λ_пред для стали марки Ст3 (самая распространённая пластичная сталь, из которой делают прокатные профили, металлоконструкции зданий и сооружений): Е = 2∙10⁴ кН/см², σ_ПЦ = 20 кН/см².

.

Таким образом, формула Эйлера справедлива только для гибких стержней.

Однако явление продольного изгиба существует не только при упругих, но и при упругопластических деформациях, когда критические напряжения больше предела пропорциональности σ_ПЦ, но меньше предела текучести σ_Т. Построим график зависимости критических напряжений σ_кр от гибкости λ для стержней из стали Ст3 (рис.4.8).

Рис.4.8

Сначала построим кривую – гиперболу Эйлера – по формуле (4.14). Она начинается от точки с координатами σ_ПЦ, λ = 100 и уходит вправо в область больших гибкостей. Это область упругих деформаций.

Стержни малой гибкости (короткие и «толстые») потерять устойчивость не могут, а могут разрушиться (достигнуть предельного состояния) в общепринятом смысле (см.рис.4.1,а). Поэтому в диапазоне гибкостей 0 < λ ≤ 40 σ_кр = σ_Т – область пластических деформаций.

В диапазоне средних гибкостей 40 < λ < 100 кривая критических напряжений представляет собой прямую линию, соединяющую крайние точки σ_кр = σ_Т и σ_кр = σ_ПЦ. Это простое решение предложил русский учёный Ф.С.Ясинский на основании большого объёма экспериментальных исследований. Формула Ясинского имеет вид

σ_кр = a – bλ, (4.16)

где а и b – постоянные, зависящие от материала.

Для стали Ст3

σ_кр = 31 – 0,114λ (σ_кр в кН/см²). (4.17)

Это область упругопластических деформаций.

Если в этой области использовать формулу Эйлера (пунктирная линия), она даёт завышенные значения критических напряжений, т.е. всегда переоценивает действительную устойчивость стержня. Поэтому использование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость при упругопластических деформациях, не только принципиально неправильно, но и крайне опасно по своим последствиям.

Теоретическому решению этой проблемы было посвящено большое количество работ разных авторов. В настоящее время общепризнанным является решение немецкого учёного Ф.Энгессера, который предложил определять критическую силу в упругопластической стадии по формуле Эйлера, подставляя в неё вместо модуля упругости Е так называемый касательный модуль (рис.4.9).

. (4.18)

Сила Р_кр(τ) называется касательно-модульной.

Рис.4.9

Кривая критических напряжений, подсчитанных по формуле (4.18), показана на рис.4.8 тонкой линией. Видим, что прямая Ясинского мало отличается от касательно-модульной кривой, причём даёт результат, повышающий запас устойчивости.