3.3. Косой изгиб с растяжением (сжатием)

Это нагружение получается в случае, когда сила Р приложена не в плоскости поперечного сечения (рис.3.4,а). К поперечным силам P_z и P_у добавляется продольная сила N = P_x, от которой во всех точках поперечного сечения возникает нормальное напряжение. В произвольной точке сечения

. (3.12)

Знаки деформации от каждого внутреннего усилия показаны на рис.3.4,б. Опасная точка – точка 1. Условие прочности

. (3.13)

а б

Рис.3.4

Изгиб в двух плоскостях с растяжением встречается как в паровых, так и в гидравлических турбинах, где лопасть (лопатка) нагружена давлением пара или воды (поперечная нагрузка) и центробежным усилием (продольная растягивающая нагрузка).

При расчёте на изгиб со сжатием напряжение, вызванное продольной силой, подставляется в формулы (3.12) и (3.13) со знаком «–» (σ = –N/F). Ещё раз обращаем внимание на то обстоятельство, что такой подход справедлив только для очень жёстких стержней, у которых вследствие малости прогибов от поперечных сил можно пренебречь дополнительным изгибающим моментом от продольной силы. Для недостаточно жёстких стержней принцип независимости действия сил (или принцип суперпозиции) использован быть не может.

3.4. Внецентренное растяжение (сжатие)

Имеет место при нагружении стержня силой, параллельной продольной оси и не совпадающей с центром тяжести сечения. Эта задача часто встречается в машиностроении (расчёт станин сверлильного или фрезерного станков) и в строительстве (расчёт опор мостов и колонн зданий). Такое деформирование стержня может считаться частным случаем рассмотренного в предыдущем параграфе совместного действия поперечных и продольной сил.

Рассмотрим внецентренное растяжение жёсткого стержня (рис.3.5,а), имеющего поперечное сечение произвольной формы без углов. Точка приложения силы находится в первой четверти, координаты её – z_p и y_p.

Рис.3.5

Перенесём силу в центр тяжести сечения в два приёма. Сначала – в точку С на оси 0z (рис.3.5,б). Если в этой точке приложить две равные и противоположно направленные силы Р, равновесие не нарушится. Дважды зачёркнутые силы создают момент M_z = P ∙ y_p. Затем переносим силу в центр тяжести сечения (рис.3.5,в) таким же способом – возникает момент M_y = P ∙ z_p. Таким образом, при внецентренном растяжении в поперечном сечении стержня имеют место три усилия: продольная сила и два изгибающих момента (рис.3.5,г)

. (3.14)

В произвольной точке первой четверти от всех этих усилий возникнут растягивающие напряжения, поэтому нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения будет

. (3.15)

Подставляя (3.14) в (3.15), получим

. (3.16)

При определении напряжения в любой точке сечения необходимо координаты этой точки z и y подставлять со своими знаками. Обратим внимание на то обстоятельство, что в формуле (3.16) отсутствует координата х, т.е. напряжение постоянно по длине стержня.

Преобразуем формулу (3.16), вынеся за скобку P/F,

.

Величины, стоящие в знаменателе второго и третьего слагаемых, представляют собой квадраты радиусов инерции сечения (см. формулу (4.21) на с.66 Ч.1):

, .

Следовательно,

(3.17)

Для получения уравнения нейтральной линии используем формулу (3.17). Обозначим координаты любой точки нулевой линии z_n и y_n, подставим в уравнение (3.17) и приравняем напряжение к нулю. После сокращения на P/F получим уравнение нейтральной линии

. (3.18)

Это уравнение прямой, не проходящей через начало координат. Из него можно определить отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат. Обозначим эти отрезки (рис.3.6) через z₀ и у₀. Если положить z_n = 0, то y_n = у₀, а если y_n = 0, то z_n = z₀. Из уравнения (3.18)

, .

Решая эти уравнения, получим отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат:

, . (3.19)

Теперь, имея положение нулевой линии, можно найти наиболее удалённые от неё точки. Для этого необходимо провести касательные к сечению, параллельные нулевой линии. Подставим координаты точки С в формулу (3.16) и получим σ_max; координаты точки D – получим σ_min. Если материал имеет неодинаковую прочность на растяжение и сжатие, условия прочности следующие:

. (3.20)

Рис.3.6

Для сечения с углами (рис.3.7) условие прочности можно записать, не прибегая к определению положения нейтральной линии:

. (3.21)

Рис.3.7

В нашем случае:

, . , , .

Максимальное напряжение имеет место во всех точках ребра СС′, минимальное – во всех точках ребра DD′.

В формулах (3.20) и (3.21) [σ₊] – допускаемое напряжение на растяжение; [σ_-] – допускаемое напряжение на сжатие.

Рассмотрим теперь частный случай внецентренного сжатия колонны прямоугольного сечения, когда одна из координат точки приложения силы равна нулю. Пусть сила расположена на оси 0у (z_p = 0, y_p = ℮), как это показано на рис.3.8. Подставляя эти значения в формулу (3.20), получим для крайних волокон

. (3.22)

Рис.3.8

Исследуем, как меняется распределение напряжений в поперечном сечении при движении силы Р по оси 0у.

Из формулы (3.22) следует, что при ℮ = 0 напряжения во всём сечении одинаковые сжимающие. Если , то напряжения во всём сечении одного знака. В частности, когда ℮ = h/6, напряжения в точках А и В равны: σ_А = –2P/F, σ_В = 0. Если, наконец, ℮ > h/6, то нейтральная ось расположена внутри сечения. Она разделяет его на две части: в одной – сжатие, в другой – растяжение. Таким образом, если не хотят, чтобы в поперечном сечении появлялись растягивающие напряжения, нельзя допускать эксцентриситет силы больше, чем h/6. Это бывает необходимо, когда колонна изготавливается из материала с низкой прочностью на растяжение (например, бетона, камня, кирпичной кладки).

Можно найти так называемое ядро сечения – область вокруг центра тяжести, характерную тем, что всякая продольная сила, приложенная внутри этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного знака. Всякая сжимающая сила, приложенная где-либо внутри ядра сечения, вызывает во всём сечении только сжимающие напряжения, растягивающая – только растягивающие напряжения.

Для прямоугольника мы фактически нашли границы ядра сечения (см.рис.3.8): надо от центра тяжести отложить по осям в обе стороны расстояния, равные одной шестой длины стороны, и соединить точки прямыми линиями (рис.3.9,а).

Найдём границы ядра сечения для круга. Ясно, что это тоже будет круг. Если приложить силу Р в точке С на границе ядра сечения, то нулевая линия будет касательной к контуру и перпендикулярной оси 0z (рис.3.9,б). Из формулы (3.19) следует

, , , z_p = ℮ = .

Получили, что для круга ядро сечения – это круг радиусом .

а б

Рис.3.9