1.4. Энергетические теоремы

В предыдущих параграфах настоящей главы определялись перемещения в балках с прямой осью. Ранее определялись перемещения прямого стержня при растяжении и кручении. Рассмотрим теперь универсальный метод, позволяющий определять перемещения в плоском или пространственном стержне, а также в кривом стержне. Этот метод – метод Мора – удобен также и для расчёта статически неопределимых балок, о чём будет сказано в главе 2. Метод Мора основан на энергетических теоремах, которые рассматриваются ниже.

1. Понятие о действительном и возможном перемещениях. Работа внешних сил

Условимся относительно обозначений. Перемещение какой-либо точки по определённому направлению от какой-либо силы или группы сил обозначается греческой буквой ∆, а перемещение от силы, равной единице, – буквой δ. Напоминаем, что перемещения определяются в линейно деформируемых системах (справедлив закон Гука), подчиняющихся принципу суперпозиции.

Различают действительное и возможное перемещения. К балке статически прикладываем силу Р (рис.1.9,а). Точка приложения этой силы перемещается на величину ∆_рр. Первый индекс показывает точку и направление перемещения, второй – причину, вызвавшую данное перемещение. На рис.1.9,б показан график зависимости перемещений ∆ от изменяющейся во времени силы P_t. ∆_рр – действительное перемещение точки приложения силы Р, вызванное её действием. Заштрихованная площадь треугольника определяет действительную работу, затраченную внешней силой на деформирование объекта

. (1.14)

Формула (1.14) представляет собой аналитическое выражение теоремы Клапейрона: действительная работа внешней силы равна половине произведения силы на перемещение точки её приложения по её направлению.

а б

Рис.1.9

Под возможным перемещением будем понимать бесконечно малое перемещение, допускаемое имеющимися связями и не зависящее от заданной системы сил. Рассмотрим балку, нагруженную силой Р (рис.1.10) и догрузим её силой К. Так как первоначальное перемещение ∆_рр от действия силы Р малое, то добавочное перемещение ∆_рк можно считать независимым от силы Р, т.е. ∆_рк – возможное перемещение (график на рис.1.10,б).

Возможной (виртуальной) работой силы Р называем работу этой силы на малом возможном перемещении. Виртуальная работа равна площади заштрихованного прямоугольника

. (1.15)

а б

Рис.1.10

Полная работа внешних сил для балки, показанной на рис.1.10,а, будет равна:

. (а)

Изменим порядок приложения сил (рис.1.11).

Рис.1.11

При таком варианте нагружения величина полной работы внешних сил будет равна:

. (б)

Ясно, что при любом порядке приложения сил величина полной работы одна и та же. Приравняв правые части формул (а) и (б), получим аналитическое выражение теоремы о взаимности возможных работ (теоремы Бетти):

Р∆_рк = К∆_кр. (1.16)

В случае равенства сил Р = К получим выражение теоремы о взаимности возможных перемещений (теоремы Максвелла):

∆_рк = ∆_кр . (1.17)

Если внешние силы не только равны друг другу, но каждая из них равна единице, формулу (1.17) можно переписать в виде

δ_ij = δ_ji , (1.18)

где i и j – номера единичных сил.

Формула (1.18) очень важна для расчёта статически неопределимых балок, о чём пойдёт речь в главе 2.

Можно заметить, что график на рис.1.9,б точно повторится и для других деформаций стержня: растяжение – P_t = N и ∆ = ∆ℓ; кручение – P_t = М_кр и ∆ = φ; изгиб при действии сосредоточенного момента – P_t = М и ∆ = θ. Поэтому во всех приведённых выше рассуждениях силу Р можно трактовать как обобщённую силу, а перемещение ∆ – как обобщённое перемещение.

Под обобщённой силой подразумевают нагрузку в виде сосредоточенного усилия или момента, которые деформируют систему в условиях статического равновесия и совершают работу на соответствующих обобщённых перемещениях.

Под обобщённым перемещением понимают макродеформацию объекта в той точке, где приложена обобщённая сила.

Теоремы Бетти и Максвелла находят широкое применение, как в научных исследованиях, так и на практике. Так, например, в методе конечных элементов матрица жёсткости оказывается симметричной относительно главной диагонали, т.е. δ_ij = δ_ji , что существенно упрощает решение. Пользу применения теоремы Максвелла на практике можно иллюстрировать следующим примером. Допустим требуется измерить перемещения в нескольких точках по длине. Можно в этих точках поставить много индикаторов, рисунок слева, можно же ограничиться одним индикатором, рисунок справа, а силу перемещать по точкам.

Как видно из этих рисунков, поместив силу P в точке 3, на конце балки получим перемещение v₁₃, которое равно v₃₁.