Глава 6. Расчёты прочности при динамических нагрузках

6.1. Общая характеристика динамических задач

В предыдущих разделах курса рассматривались задачи, в которых внешняя нагрузка прикладывалась статическим способом, т.е. медленно изменялась во времени так, что возникавшие силы инерции были малы по сравнению с величиной самой нагрузки. В то же время в технике встречается много машин и сооружений, где силы инерции играют существенную, а иногда и определяющую роль. Указанные задачи могут быть разделены на три класса.

К первому классу относятся задачи движения с постоянным ускорением – подъём груза тросом с постоянным ускорением и вращение кольца с постоянной угловой скоростью.

Второй класс составляют задачи о колебаниях упругих систем, причём здесь решаются две проблемы. Одна из них касается определения частоты собственных колебаний системы, знание которой необходимо, чтобы при проектировании избежать резонансного режима. Вторая проблема связана с вычислением напряжений и перемещений, и обеспечения условий прочности и жёсткости.

Третий класс составляют задачи обеспечения прочности при воздействии ударной нагрузки.

6.2. Напряжения в тросе при равноускоренном подъёме груза

Рис.6.1

В момент подъёма груза имеет место равноускоренное движение с ускорением а, направленным вверх. Сила инерции I будет направлена вниз. Итак, вниз направлены: Р – вес груза; Q = γFx – вес троса, где γ – удельный вес материала; I = ma – сила инерции, где m = (P + Q)/g – масса груза и троса. Все эти силы уравновешиваются динамической внутренней силой в тросе NД (рис.6.1). Эта расчётная схема составлена в соответствии с известным из теоретической механики принципом д’Аламбера (принципом кинетостатики). Согласно этому принципу движущуюся систему можно рассматривать как находящуюся в равновесии, если ко всем точкам её присоединить силу инерции.

.

Динамические напряжения будут равны

(6.1)

Скобка в этом выражении представляет собой динамический коэффициент

, (6.2)

а первая дробь – напряжения при статическом воздействии нагрузки

. (6.3)

В итоге получим формулу для динамических напряжений и условие прочности

. (6.4)

Аналогичная формула будет и для динамических перемещений

. (6.5)

6.3. Напряжения в тонком кольце при вращении с постоянной скоростью

Такое напряжённое состояние возникает, например, в пустотелом роторе турбины. Если ротор по длине мысленно разделить на кольца, то при достаточной длине соседние кольца не оказывают влияния друг на друга.

При равномерном вращении (ω = const) возникает центростремительное ускорение а и соответствующая центробежная сила.

Рис.6.2

Показанная на рис.6.2 интенсивность распределённой нагрузки q представляет собой силу инерции

, , ,

следовательно,

, (а)

где F – площадь поперечного сечения кольца.

Спроектировав все силы на вертикальную ось у, получим

, (б)

где .

Поскольку , для динамического напряжения согласно (а) и (б) получим

, (6.6)

и соответственно условие прочности

. (6.7)

Следует обратить внимание на одно важное обстоятельство. Формула для напряжений не содержит площади поперечного сечения F, поэтому при невыполнении условия прочности увеличение площади, как это делалось раньше при решении многих задач, не даёт эффекта. Нужны другие меры: уменьшение r, уменьшение ω, что приводит к ухудшению технических характеристик машины.

Другой особенностью формулы (6.6) является то, что в ней невозможно выделить динамический коэффициент, поскольку статические напряжения в состоянии покоя равны нулю.