6.9. Приближённое определение частоты собственных колебаний систем со многими степенями свободы

При расчёте многомассовых систем или систем с распределённой массой всегда возникает задача определения спектра частот собственных колебаний. Для приближённого решения бывает достаточно найти первую минимальную частоту собственных колебаний. В этом случае удобно применить приближённый метод приведения масс. Он заключается в замене системы со многими сосредоточенными массами или с распределённой массой на динамически эквивалентную систему с одной степенью свободы (с одной сосредоточенной приведённой массой). В качестве критерия динамической эквивалентности принимается кинетическая энергия.

Рис.6.17

Дана двухопорная балка с двумя сосредоточенными массами m₁ и m₂ (система с двумя степенями свободы). Необходимо заменить её динамически эквивалентной балкой с сосредоточенной массой в точке К (рис.6.17). Найдём и приравняем кинетические энергии двух балок

.

Отсюда

, (6.43)

где V₁ и V₂ – скорости движения масс m₁ и m₂,

V_К – скорость движения точки К с приведённой массой m_ПР.

Пользоваться формулой (6.43) невозможно, поскольку скорости движения неизвестны. Вводится дополнительное упрощение – скорости заменяются единичными перемещениями, вызванными статическим действием единичной силы, приложенной в точке К. Тогда

. (6.44)

Формулу (6.44) можно обобщить на систему с n сосредоточенными массами

. (6.45)

В случае исходной системы с распределённой массой формула (6.45) слегка видоизменяется – суммирование заменяется интегрированием:

, (6.46)

где m_ix – функция изменения массы по длине балки;

δ_ix – функция прогиба от силы Р = 1, приложенной в точке К.

В качестве примера применения формулы (6.46) найдём приведённую массу для консольной балки с равномерно распределённой массой (рис.6.18), . Определим δ_ix с помощью метода начальных параметров, помня о том, что прогиб и угол поворота сечения в заделке равны нулю:

.

.

Рис.6.18

Теперь в соответствии с формулой (6.46)

.

Для некоторых распространённых схем стержней с распределённой массой справочные данные приведены в табл.6.1.

Таблица 6.1

Поперечные колебания		Продольные колебания
		– масса единицы длины

6.10. Расчёт на удар

6.10.1. Продольный и поперечный удар

Удар – это такое взаимодействие движущихся тел, при котором скорости точек этих тел изменяются за весьма малый промежуток времени. Время удара измеряется в тысячных, а иногда и миллионных долях секунды, а сила удара достигает большой величины. Например, удар груза при забивке свай, удар кузнечного молота по металлической заготовке, удар колеса вагона по рельсу при перекатывании через стык, удар автомобиля о неподвижное препятствие или о другой автомобиль при аварии.

При определении напряжений (перемещений) в элементах упругих систем, вызываемых действием ударной нагрузки, в инженерной практике обычно пользуются приближённым энергетическим методом. Согласно этому методу полагают, что при соударении тел уменьшение запаса кинетической энергии равно увеличению потенциальной энергии деформации соударяющихся тел (по закону сохранения энергии).

Вывод расчётных формул проведём на примере простой системы с одной степенью свободы (рис.6.19,а), состоящей из вертикально расположенной невесомой пружины (упругого стержня) с закреплённым на конце грузом Q. Груз Р падает с высоты h. Необходимо найти динамический коэффициент k_Д (σ_Д = k_Д ∙ σ_cm).

Принимаем следующие допущения:

1. В месте падения груза нет пластических деформаций.

2. Удар считаем абсолютно неупругим. В том смысле, что груз Р не отскакивает, а «приклеивается» к грузу Q. Предполагаем, что после соприкосновения два тела соединились в одно, которое, продолжая перемещаться вниз, сжимает пружину.

Если силу Р приложить к системе статически, то перемещение λ_ст (рис.6.19,в) будет определяться равенством

, (а)

где с – жёсткость пружины.

а б в

Рис.6.19

После удара пружина сожмётся на величину λ_Д (рис.6.19,б), которую можно определить через динамическую силу (динамический коэффициент)

. (б)

Скорость падения груза в момент касания

V² = 2gh. (в)

После соприкосновения двух тел их скорости одинаковы и равны V₁. По теореме об изменении количества движения имеем

,

откуда

. (г)

При дальнейшем движении пружина сжимается, а скорость тел постепенно падает. В момент наибольшего сжатия скорость равна нулю, а сила достигает максимума: Р_Д + Q.

По теореме об изменении кинетической энергии

Т₂ – Т₁ = U, (д)

где Т₂ – кинетическая энергия в момент наибольшего сжатия пружины, Т₂ = 0;

Т₁ – кинетическая энергия после удара в начальный момент движения;

U – потенциальная энергия деформации пружины.

Кинетическая энергия системы с учётом равенства (г) определится выражением

. (е)

Потенциальная энергия деформации пружины равна работе всех сил, приложенных к двум движущимся телам на пути λ_Д. Сила тяжести двух тел совершит работу

A₁ = (P + Q)λ_Д. (ж)

Со стороны пружины на тела действует переменная сила. В начале деформации пружины она равна силе веса Q, а в конце – силе (P_Д + Q). График изменения силы сопротивления пружины N показан на рис.6.20. Работа этой силы будет отрицательной, т.к. она действует в сторону, противоположную движению. Численно работа равна площади диаграммы, показанной на рис.6.20

. (з)

Рис.6.20

Таким образом, учитывая равенство (б), найдём

.

Подставляя полученные значения Т₁ и U в равенство (д), получим

.

С учётом равенств (а) и (в) имеем

.

После несложных преобразований получаем квадратное уравнение относительно λ_д

.

Решая это уравнение, можно определить динамическое перемещение

. (6.47)

Знак «–» в этой формуле не соответствует физическому смыслу задачи, поэтому сохраняем знак «+» и записываем в виде

. (6.48)

Выражение в скобках есть формула динамического коэффициента при продольном (поперечном) ударе:

. (6.49)

В рассмотренном случае падения груза на пружину

,

где R – радиус винтовой оси пружины;

n – число витков;

G – модуль сдвига;

r – радиус проволоки.

Применим полученный результат к расчёту стержня, испытывающего ударное сжатие (рис.6.21).

Груз Р падает на стержень (рис.6.21,а), сечение которого представляет собой коробку, сваренную их двух двутавров №20 (рис.6.21,б). Необходимо проверить прочность стержня, принимая допускаемое динамическое напряжение [σ] = 14 кН/см².

Сначала найдём статическое напряжение и статическую деформацию стержня (рис.6.21,в)

,

.

а б в г

Рис.6.21

Перед расчётом динамического коэффициента заданный стержень необходимо привести к расчётной схеме на рис.6.19. Приведённый вес стержня в соответствии с табл.6.1 будет

.

Здесь р = 21 кг – вес одного погонного метра двутавра.

Динамический коэффициент находим по формуле (6.49), подставляя λ_ст = ∆ℓ_ст:

.

Наибольшее напряжение при ударе определяется по формуле

σ_max = σ_ст ∙ k_Д. (6.50)

В нашем случае

σ_max = 0,11 ∙ 64,27 = 7,07 кН/см².

При проверке прочности необходимо вспомнить об опасности потери устойчивости стержня. Поэтому найдём коэффициент продольного изгиба φ.

Для сечения (рис.6.21,б) главные оси z и у. Радиусы инерции: i_z = 8,28 см, . (см.рис.6.21,б), .

Гибкость . Из справочника находим

λ	φ	. Интерполируем .
90 100	0,69 0,6

Должно выполняться условие σ_max ≤ φ[σ].

У нас σ_max = 7,07 кН/см², φ[σ] = 0,663 ∙ 14 = 9,28 кН/см². Условие устойчивости выполняется.

Анализируя расчёт, можно заметить очень большое значение коэффициента k_Д. Это связано с тем обстоятельством, что стальной стержень весьма жёсткий и статическая деформация соответственно малая.

Поэтому самый эффективный способ уменьшить k_Д – увеличить статическое перемещение. Это можно сделать за счёт установки между стержнем и опорой пружины или мягкой податливой прокладки.

Проверим, насколько уменьшится k_Д, если установим резиновую прокладку размером 2020 см и толщиной 10 см (рис.6.21,г). Перемещение ∆ℓ_П будет

(Е_П = 2 кН/см²).

Общее перемещение

∆ℓ = ∆ℓ_ст + ∆ℓ_П = 0,0014 + 0,075 = 0,0764 см.

Динамический коэффициент

.

Получили снижение k_Д более, чем в шесть раз.

Ещё один способ уменьшения k_Д – увеличить вес стержня Q. Если груз падает на очень массивную конструкцию (Q >> P), то k_Д = 2. С другой стороны, если масса конструкции мала по сравнению с массой падающего груза (Q << P), формула для динамического коэффициента упрощается:

, (6.51)

где δ_ст – перемещение от статического действия силы Р (в стержне – деформация ∆ℓ_ст, в пружине – осадка λ_ст, в балке – прогиб υ_ст).

Рассмотрим случай поперечного (изгибного) удара. Груз Р падает на консоль балки (рис.6.22), сечение которой двутавр №27а (W = 371 см², J = 5010 см⁴). Необходимо проверить прочность балки, [σ] = 16 кН/см².

Рис.6.22

Статическое напряжение

.

Статический прогиб найдём методом Мора–Верещагина

.

Динамический коэффициент определим по формуле (6.51) – без учёта массы балки

.

Проверим прочность

σ_max = σ_cm ∙ k_Д = 2,16 ∙ 7,22 = 15,6 кН/см² < [σ] = 16 кН/см².

Следовательно, прочность обеспечена.

На практике встречаются случаи продольного удара, когда на основании полученной выше формулы (6.51) динамический коэффициент определить нельзя. К таким случаям относится задача об определении напряжений в канате, поднимающем груз Р с постоянной скоростью V, при внезапном торможении подъёмника (рис.6.23).

Полагая, что кинетическая энергия движущегося груза полностью превращается в потенциальную энергию деформации троса, получили следующее выражение для динамического коэффициента . (6.52)

Рис.6.23

Проиллюстрируем полученный результат примером расчёта. Груз Р = 45 кН поднимается со скоростью V = 1 м/с. В момент внезапной остановки длина троса ℓ = 18 м. Определить напряжение в тросе (рис.6.23). Сечение каната F = 16 см², модуль Юнга Е = 1,05 ∙ 10⁴ кН/см².

Вычислим статическую деформацию каната:

.

Согласно формуле (6.52) коэффициент динамичности

и динамические напряжения

.