4.2. Определение критической силы методом Эйлера
Из сказанного в п.4.1 следует, что при расчёте устойчивости самым важным является определение критической нагрузки, вызывающей потерю устойчивости. Может также представлять интерес полное описание закритического поведения.
Для исследования устойчивости равновесия упругих систем имеется несколько методов. Наиболее универсальным является динамический метод, основанный на изучении колебаний системы вблизи заданного положения равновесия. Однако подавляющее большинство инженерных задач может быть решено более простым статическим методом, предложенным великим Л.Эйлером в 1744 г.
По определению Эйлера, критической силой называется «сила, требующаяся для самого малого наклонения колонны». Рассмотрим шарнирно-опёртый центрально-сжатый стержень постоянного сечения в слегка изогнутом состоянии (рис.4.5,а).
а б
Рис.4.5
Предполагая, что деформация стержня упругая (напряжения не превышают предел пропорциональности), можно воспользоваться приближённым дифференциальным уравнением (1.4) изогнутой оси:
, (4.1)
где Jmin – наименьший момент инерции стержня, так как очевидно, что изгиб произойдёт в плоскости наименьшей жёсткости.
Изгибающий момент в произвольном сечении (рис.4.5,б)
|М| = Ркрυ.
Учитывая, что знаки момента и второй производной прогиба противоположны при любом направлении оси υ, получим
,
или
. (4.2)
Введём обозначение
, (4.3)
и запишем уравнение (4.2) следующим образом:
. (4.4)
Мы получили однородное линейное дифференциальное уравнение, общий интеграл которого известен:
υ = A sin kx + B cos kx. (4.5)
Постоянные интегрирования А и В должны удовлетворять граничным условиям:
при х = 0 υ = 0;
при х = ℓ υ = 0.
Из первого условия
0 = A sin 0 + B cos 0 = B ∙1, т.е. В = 0.
Из второго условия
0 = A sin kℓ.
Это условие выполняется в двух случаях: А = 0 или sin kℓ = 0. Первый случай нас не интересует, так как при А = 0 стержень остаётся прямолинейным. Криволинейная форма равновесия возможна при sin kℓ = 0.
Корни этого уравнения
kℓ = 0, π, 2π, 3π, 4π… (4.6)
Наименьшее значение критической силы будет при kℓ = π. Таким образом,
. (4.7)
Подставим (4.7) в (4.3) и получим формулу Эйлера
. (4.8)
Выражение (4.6) фактически даёт не одно, а множество значений критической силы. Каждой силе соответствует своя форма равновесия (рис.4.6):
, (4.9)
где n = 1, 2, 3, 4…
При первой критической силе стержень изгибается по одной полуволне синусоиды, а при всех последующих число полуволн равно номеру критической силы. Потеря устойчивости в форме двух или более полуволн синусоиды возможна только в случае установки в соответствующих местах стержня ограничителей перемещения.
Рис.4.6
4.3. Зависимость критической силы от способа закрепления концов стержня
Чтобы получить значение критической силы для стержней с иным закреплением концов, чем у стержня в п.4.2, необходимо провести своё решение аналогично тому, как это сделано для шарнирно-опёртого стержня. Можно обойтись без аналитического решения и определить критическую силу из чисто геометрических соображений.
Так, например, стержень с одним защемлённым концом изгибается по кривой, представляющей собой половину полуволны синусоиды для шарнирно-опёртого стержня (рис.4.7,а).
а б в
Рис.4.7
Для стержня с одним заделанным и другим шарнирно-опёртым концами (рис.4.7,б) длина полуволны синусоиды, замеренная между шарнирной опорой и точкой перегиба изогнутой оси, составит 0,7 длины стержня.
Для стержня с двумя заделанными концами (рис.4.7,в) длина полуволны синусоиды, замеренная между двумя точками перегиба, составит половину длины стержня.
Для всех случаев, рассмотренных выше, критическую силу можно определять по обобщённой формуле Эйлера
, (4.10)
где ℓ0 = μℓ – приведённая длина;
μ – коэффициент приведения длины;
ℓ – фактическая длина стержня.
Приведённая длина может быть истолкована как длина некоторого виртуального шарнирно-опёртого стержня, критическая сила для которого равна критической силе для заданного стержня.
Коэффициент приведения длины определяем по рис.4.7 или по табл.4.1, в которой стержни расположены по мере возрастания жёсткости опор.
Таблица 4.1
|
|
|
|
