§5 Теорема остроградского-гаусса.

Теорема Остроградского-Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции.

Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен суммарному заряду, охваченному этой поверхностью, деленному на ₀.

Рассмотрим примеры:

ПРИМЕР 1. Электрическое поле создается положительным точечным зарядом, расположенным внутри замкнутой поверхности.

РИС.11 РИС.12

Выделим некоторый элемент поверхности dS , вектор внешней нормали к которому составляет угол  с направлением вектора напряженности. Тогда :

, ,

Используем понятие телесного угла (рис.12), мерой которого служит отношение площади поверхности шарового сегмента к квадрату радиуса. Единицей телесного угла является стерадиан (ср) – телесный угол, вырезающий на поверхности сферы элемент, площадь которого равна квадрату радиуса. Тогда полный телесный угол, построенный из точки равен ср.

,

Если поверхность имеет сложную форму, и линии напряженности пересекают ее несколько раз, то, как видно из рисунков 13 и 14, телесный угол остается по величине постоянным, а изменяется направление нормали. При суммировании потоков с противоположными знаками результат будет определяться потоком только через один элемент поверхности.

РИС.13 РИС.14

ПРИМЕР 2. Положительный точечный заряд находится вне замкнутой поверхности.

Как видно из рисунка 15, в этом случае линии напряженности либо совсем не пересекают поверхность, либо пересекают ее четное число раз и потоки через элементы поверхности имеют противоположные знаки, что дает при суммировании ноль.

РИС.15 РИС.16

ПРИМЕР 3. Замкнутая поверхность окружает N точечных зарядов.

Линии напряженности поля, в этом случае, проводятся по вектору результирующей напряженности, который находится по принципу суперпозиции. Тогда:

ПРИМЕР 4. Замкнутая поверхность окружает область пространства в которой заряд распределен непрерывно с объемной плотностью :

Рассмотрим такой малый объем dV чтобы заряд, находящийся в нем можно было считать точечным :

, ,

Из рассмотренных примеров видно, что поток вектора напряженности определяется суммарным зарядом и не зависит от его распределения внутри поверхности.

Теорема Остроградского-Гаусса позволяет достаточно просто рассчитать напряженность поля известной конфигурации, которое обладает каким-либо видом симметрии.

Например, если можно выбрать такую замкнутую поверхность, что линии напряженности перпендикулярны любому элементу поверхности, то, E·cos 0⁰=Е. Тогда:

Если распределение зарядов внутри поверхности задано, то суммарный заряд также легко рассчитать. Приравняв эти два выражения друг другу, можно легко вычислить напряженность поля.

САМОСТ. III: 1.Найти поток вектора напряженности поля точечного заряда q через сферическую поверхность, центр которой совпадает с положением точечного заряда, если радиус поверхности: а)R, б) 2R.

2. Какова должна быть форма замкнутой поверхности, в каждой точке которой скалярное произведение вектора напряженности и нормали имеет постоянное значение, если поле создано зарядом равномерно распределенным : а) по поверхности сферы, б)по объему сферы, в) вдоль бесконечной, прямолинейной нити, г) по поверхности бесконечной плоскости.