§ 50 Свободные колебания в контуре с активным сопротивлением.

Реальный контур обладает активным сопротивлением и энергия колебаний переходит в тепловую.

Уравнение свободных колебаний контура с активным сопротивлением: , где , .

Можно показать, что при решением этого уравнения является: , где q_m и - произвольные постоянные, определяемые начальными условиями. . В этом случае колебания не периодические (рис.126), но величину называют периодом затухающих колебаний, где Т₀ – период свободных незатухающих колебаний.

Множитель называют амплитудой затухающих колебаний, а

- коэффициентом затухания. , где - время релаксации, т.е. время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

РИС.126 РИС.127 РИС.128

Чем больше активное сопротивление контура, тем быстрее затухают электромагнитные колебания (рис.127).

Для характеристики скорости уменьшения амплитуды вводят логарифмический декремент затухания, равный натуральному логарифму отношения двух значений амплитуд, взятых через период колебания: , где N_e – число колебаний за время релаксации, т.е. за время, в течение которого, амплитуда колебаний уменьшается в е раз. A(t) – амплитудное значение соответствующей величины - q_m, U_m, I_m.

Если затухание мало, т.е. , то . Тогда . Для характеристики потери энергии в контуре за период вводится добротность контура: , где W – энергия запасенная в контуре, - потери энергии в контуре за период.

Пусть в начальный момент заряд конденсатора равен нулю, а сила тока в контуре максимальна, следовательно, энергия контура

. Убыль энергии за период .

Тогда .

При вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора (рис.128). Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называется критическим : .

§ 51. Цепь переменного тока с различной нагрузкой.

В реальных цепях могут протекать нестационарные токи различного характера, но наиболее широко используется ток, зависящий от времени по гармоническому закону.

Реальные приборы, устройства и элементы электрических цепей, объединяемые общим термином «нагрузка», могут обладать как свойствами активного сопротивления, так и емкостными и индуктивными свойствами.

Рассмотрим, как связаны между собой ток и напряжение при различном характере нагрузки, включенной на некотором участке электрической цепи.

АКТИВНАЯ НАГРУЗКА (резистор).

Пусть на участке цепи с активным сопротивлением R и пренебрежимо малыми емкостью и индуктивностью (рис.129) течет квазистационарный переменный ток . В этом случае можем применить закон Ома для мгновенных значений тока и напряжения: .

Следовательно, напряжение на резисторе также совершает гармонические колебания с теми же фазой и частотой, что и сила тока, а амплитудные значения силы тока и напряжения связаны законом Ома: . Графики зависимости силы тока и напряжения от времени представлены на рис.130.

РИС.129 РИС.130 РИС.131 РИС.132

Для более наглядного представления используем метод векторных диаграмм. Согласно этому методу, каждой гармонически изменяющейся со временем величине: можно сопоставить вектор длиной А, который равномерно вращается в плоскости XOY с угловой скоростью и начальной фазой . Мгновенное значение гармонической величины, в этом случае, представляет собой проекцию вектора А на ось OY (рис.131).

Для резистора в рассмотренном случае соответствующие вектора для представления силы тока и напряжения на векторной диаграмме совпадают (рис.132).

ЕМКОСТНАЯ НАГРУЗКА

Рассмотрим участок цепи с конденсатором емкостью С, активное сопротивление которого и индуктивность пренебрежимо малы (рис.133). Пусть на участке течет ток .

Чтобы рассчитать напряжение на конденсаторе, найдем функциональную зависимость заряда на пластинах конденсатора от времени: ,

Постоянную интегрирования примем равной нулю, так как нас интересует лишь заряд конденсатора, обусловленный переменным током.

Тогда напряжение на конденсаторе изменяется по закону:

, т.е. напряжение совершает колебания с той же частотой, что и сила тока, но отстает по фазе от силы тока на (по времени – на четверть периода).

Амплитудные значения силы тока и напряжения связаны постоянным, при данных условиях, коэффициентом , который, при сравнении с законом Ома для резистора, играет роль сопротивления и поэтому называется емкостным сопротивлением.

Следовательно, при чисто емкостной нагрузке закон Ома для мгновенных значений тока и напряжения НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ, но амплитудные значения тока и напряжения подчиняются закону Ома: .

РИС.133 РИС.134 РИС.135

Полученные соотношения отчетливо проявляются на графиках зависимости силы тока и напряжения от времени (рис.134), а также на векторной диаграмме (рис.135).

ИНДУКТИВНАЯ НАГРУЗКА.

Рассмотрим участок цепи с катушкой индуктивности L и пренебрежимо малыми активным сопротивлением и емкостью (рис.136). Пусть по участку протекает ток .

Так как ЭДС самоиндукции, согласно правилу Ленца, препятствует изменению протекающего тока, то .

Следовательно, напряжение на индуктивности совершает гармонические колебания с той же частотой, что и сила тока, но опережает по фазе силу тока на (по времени – на четверть периода). Амплитудные значения силы тока и напряжения также связаны соотношением, аналогичным закону Ома: , где - называется индуктивным сопротивлением.

Графики зависимости силы тока и напряжения, а также векторная диаграмма, представлены на рис.137 и рис.138.

РИС.136 РИС.137 РИС.138