§8. Разность потенциалов, потенциал электростатического поля.

Как известно работа сил потенциального поля равна убыли потенциальной

энергии:

Если разделить обе части этого выражения на величину переносимого пробного заряда, то можно ввести энергетическую характеристику двух точек поля.

Разностью потенциалов между двумя точками электростатического поля называется скалярная физическая величина, численно равная работе сил поля по перемещению единичного положительного заряда между двумя этими точками.

Потенциал точки поля, равный потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля, можно определить только через потенциальную энергию в другой точке:

Если пробный заряд находится в точке 2 на очень большом расстоянии от заряда создающего поле, то они практически не взаимодействуют, так как кулоновская сила убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.

Потенциальная энергия – энергия взаимодействия, а значит, потенциальная энергия пробного заряда в этом случае равна нулю.

Следовательно, можно принять, так называемое условие нормировки, что при r W_0 и соответственно потенциал бесконечно удаленной точки поля равен нулю:

при

Потенциалом точки электростатического поля называется скалярная физическая величина, численно равная работе сил поля по перемещению единичного, положительного заряда из этой в бесконечно удаленную точку.

Или: при

Таким образом, разность потенциалов – однозначная характеристика двух точек поля, а потенциал – неоднозначная характеристика, зависящая от условия нормировки.

Потенциал и разность потенциалов измеряются в: ₁-₂==1В

Получим формулу для вычисления потенциала поля точечного заряда:

или

Если пробный заряд перемещается в поле, созданном несколькими точечными зарядами, то работа будет определяться силой, действующей на него со стороны результирующего поля:

Отсюда следует принцип суперпозиции для потенциала -

потенциал точки поля, созданного несколькими точечными зарядами равен алгебраической сумме потенциалов:

Если заряд распределен по некоторому объему с объемной плотностью x,y,z), то можно найти потенциал точки поля, используя формулу для поля точечного заряда и принцип суперпозиции.

Выделим такой малый объем dV, что заряд этого объема можно считать точечным. Тогда: dq=dV

Потенциал создаваемый этим зарядом в точке поля :

Проинтегрировав по всему объему, найдем потенциал точки поля, создаваемый всем распределенным зарядом:

§9 Связь напряженности и разности потенциалов.Эквипотенциальные поверхности.

Выразим работу сил поля через разность потенциалов А₁₂=q_n( ₁-₂) и сравним с раннее полученной формулой

Соотношение между разностью потенциалов и напряженностью поля в интегральной форме:

Соответственно, потенциал точки поля рассчитывается по формуле:

Найдем связь между напряженностью и потенциалом в дифференциальной форме. Для поля, силы которого потенциальны:

Поле точечного заряда зависит лишь от расстояния, поэтому можно записать, что:

Тогда:

Отсюда следует, что вектор напряженности всегда направлен в сторону убывания потенциала.

Используем:

, ,

Кроме линий напряженности для изображения электростатического поля используются эквипотенциальные поверхности.

Эквипотенциальная поверхность – геометрическое место точек равного потенциала, т.е. const.

1)Чтобы поверхность была эквипотенциальна, необходимо и достаточно, чтобы работа по перемещению заряда между двумя любыми точками поверхности равнялась нулю.

2)Эквипотенциальная поверхность ортогональна линиям напряженности. Действительно, работа по перемещению заряда между двумя точками эквипотенциальной поверхности:

, так как

Тогда: . Это возможно, если cos=0, т.е. =90⁰

Например, эквипотенциальные поверхности поля отрицательного точечного заряда представляют собой сферические поверхности с центром, совпадающим с местом расположения заряда.

3)Поверхность заряженного проводника с установившимся распределением зарядов – эквипотенциальна.

На рис. 20 показаны линии напряженности и эквипотенциальные поверхности поля положительно заряженного проводника. Одна из эквипотенциальных поверхностей совпадает с его контуром

РИС.19 РИС.20

САМОСТ.IV: 1.Изобразить линии напряженности и эквипотенциальные поверхности поля:

а) положительного точечного заряда, б)двух равных точечных зарядов заряженных одноименно и разноименно,

в) зарядов равномерно распределенных по поверхности: сферы, бесконечной плоскости, бесконечного цилиндра.

2. Получить формулу для расчета потенциала точки поля заряда q равномерно распределенного по поверхности сферы радиусом R. Вычислить потенциал поверхности сферы.

§10 ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОСТАТИКИ.

Прямая задача – по известному распределению зарядов найти функциональную зависимость от координат для вектора напряженности и для потенциала.

Обратная задача - по известным функциям для вектора напряженности и потенциала рассчитать распределение зарядов в пространстве.

Для решения прямой задачи и однозначного определения вектора напряженности необходимо знать три скалярные функции. Поэтому получим связь между плотностью распределения зарядов и потенциалом.

, , ,

- оператор Лапласа (лапласиан), псевдовектор

- уравнение Пуассона, дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, которое позволяет при заданном распределении зарядов и известных начальных условиях найти потенциал.

При отсутствии в пространстве свободных зарядов: - уравнение Лапласа.

Уравнения Пуассона и Лапласа позволяют (при известных начальных условиях) решить и прямую и обратную задачи электростатики.