§ 63 Полная система уравнений максвелла. Теория максвелла и границы ее применимости.

Система уравнений состоит из четырех полевых и трех материальных уравнений.

Два из полевых уравнений – это теоремы о циркуляции, являющиеся обобщением экспериментальных законов электромагнитной индукции и закона полного тока.

или , или

Кроме того, в полевые уравнения входят две теоремы о потоке, которые справедливы и в случае переменных полей:

или , или

Уравнения поля являются линейными и учитывают экспериментально установленный принцип суперпозиции.

Полевые уравнения в векторной форме эквивалентны 8 скалярным с 12 функций для компонент векторов электрического и магнитного поля. Поэтому при рассмотрении конкретных задач необходимы материальные уравнения, характеризующие соотношения между векторами поля при наличии среды:

, , .

Как и всякая новая теория, теория Максвелла должна удовлетворять принципу соответствия, т.е. включать старые законы как частные случаи.

Действительно, в случае: уравнения Максвелла переходят в уравнения электростатического и постоянного магнитных полей.

Теория Максвелла предсказала существование новых явлений: распространение электромагнитного поля, особенности взаимодействия электромагнитных волн с веществом. Уравнения Максвелла показывают неразрывную связь электрического и магнитного полей, которые взаимно порождают друг друга и, следовательно, не являются независимыми полями, а лишь проявлением, при определенных условиях, единого электромагнитного поля.

Верность новой теории должна быть подтверждена экспериментальной проверкой ее следствий. Максвелл показал, что следствием его теории является возможность распространения электромагнитного поля, и это было позднее подтверждено опытами Герца.

Теоретическое исследование электромагнитных волн и вычисление скорости их распространения позволили Максвеллу предположить электромагнитную природу света.

Полная система уравнений Максвелла описывает классические (не квантовые) электромагнитные явления и получена или является следствием следующих условий.

1)среда неподвижна, 2)относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости, а также проводимость среды могут зависеть от координат, но не должны зависеть от векторов полей и времени.

В случае движения среды можно модифицировать материальные уравнения, приняв во внимание движение зарядов среды.

Если характеристики среды обусловлены проявлением квантовых свойств (сегнетоэлектрики, ферромагнетики), то уравнения Максвелла неприменимы.

§ 64. Электромагнитные волны и их свойства.

Процесс распространения колебаний, периодический во времени и пространстве, называется волновым процессом или волной.

Максвелл теоретически показал, что электромагнитное поле может распространяться в виде электромагнитной волны.

Рассмотрим вывод уравнения электромагнитной волны из уравнений Максвелла. Пусть среда – идеальный, однородный, нейтральный диэлектрик, заряды и токи в ней отсутствуют, т.е.:

, , , , .

В этом случае уравнения Максвелла:

, , , , , .

Дифференцируем обе части первого уравнения по времени: .

Во втором уравнении перейдем к индукции магнитного поля и напряженности электрического: .

Подставим скорость изменения напряженности электрического поля: .

Так как , где - оператор Лапласа, то .

Аналогично: .

Поскольку вектор напряженности вихревого электрического поля лежит в плоскости перпендикулярной вектору индукции магнитного поля, рассмотрим простейший случай, когда:

и . Тогда: , и аналогично для вектора магнитной индукции. Мы получаем уравнения: , , которые аналогичны уравнению плоской волны, распространяющейся в пространстве вдоль направления ОХ со скоростью: .

Так как переменное электрическое поле порождает переменное магнитное и наоборот, то эти уравнения свидетельствуют о распространении сцепленных электрического и магнитного поля, образующих электромагнитную волну.

Эти уравнения соответствуют плоской электромагнитной волне, распространяющейся в направлении оси ОХ. Волна называется плоской, если вектор волны имеет одно и то же значение во всех точках плоскости перпендикулярной направлению распространения волны.

Вектора напряженности электрического поля и индукции магнитного имеют одно и то же значение в каждой такой плоскости, но от плоскости к плоскости изменяются, например, по простейшим, удовлетворяющим волновым уравнениям, синусоидальным зависимостям: и (рис.186).

Необходимо отметить, что волна, векторы которой изменяются по гармоническому закону с одной частотой, является моделью – абстракцией, такой же как, например, «точечный заряд». Реальное излучение содержит некоторый набор различных частот, называемый спектром или спектральным составом данного излучения. На практике излучение называется монохроматическим, если оно содержит очень узкий интервал частот.

В теории, чаще всего, монохроматической называется гармоническая волна, т.е. имеющая только одну частоту, что значительно облегчает расчеты необходимых величин.

Таким образом, Максвелл, на основании рассмотрения своих уравнений в 1865 г. выдвинул предположение, что электромагнитное поле может распространяться в пространстве в виде волн, и сформулировал основные свойства плоской монохроматической электромагнитной волны.

1)Электромагнитная волна – поперечная, так как вектора напряженности и магнитной индукции колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (рис.187).

РИС.186 РИС.187 РИС.188

2)Эти волны поляризованные, так как, вектора напряженности и магнитной индукции расположены в плоскостях ХОУ и ХОZ.

3)Объемная плотность энергии электромагнитной волны определяется как сумма объемных плотностей энергии электрического и магнитного полей: , которые в любой точке пространства и в любой момент времени равны по величине:

. Следовательно, , т.е. отношение величин векторов напряженности и магнитной индукции постоянно и не зависит от времени, т.е. колебания этих векторов синфазны.

4)Фазовая скорость электромагнитной волны в однородной изотропной среде зависит только от диэлектрической и магнитной проницаемостей среды: . Скорость электромагнитной волны в вакууме максимальна и равна: .

Длина волны определяется минимальным расстоянием между точками, колеблющимися в одинаковых фазах, или расстоянием, на которое распространяется волна за период . Частота (период) волны определяются источником волны и не изменяются при распространении волны. Скорость распространения волны зависит от характеристик среды, и поэтому, при переходе из одной среды в другую длина волны изменяется.

5)На границе двух однородных изотропных сред скорость электромагнитной волны изменяется скачком , и это определяет наличие таких явлений как отражение, преломление и дисперсия. Относительный показатель преломления .

6)Для электромагнитных волн, так же как для других, наблюдаются интерференция и дифракция.

7)При взаимодействии с веществом может наблюдаться поглощение электромагнитных волн, т.е. за счет энергии электромагнитной волны: а)возникают токи в среде, если ее проводимость не равна нулю, б)увеличивается внутренняя энергия вещества, в)возникают вторичные излучения.

8)При взаимодействии с веществом электромагнитные волны могут оказывать на него давление (рис.188). Это явление можно объяснить на основании того, что если проводимость вещества не равна нулю, то в веществе есть некоторое количество свободных зарядов. Электрическая составляющая электромагнитной волны вызывает их направленное движение, а магнитное поле воздействует на эти токи с силой Ампера: , .

Отсюда следует, что на единичный объем вещества действует сила, направленная вдоль скорости распространения волны.

Тогда давление: , т.е. давление электромагнитной волны определяется средним значением объемной плотности энергии у поверхности вещества.

а) при полном поглощении веществом энергии электромагнитной волны давление определяется только объемной плотностью энергии падающей волны: .

б) при полном отражении – давление определяется как плотностью энергии падающей волны, так и отраженной волны, а следовательно, в два раза больше, чем при полном поглощении :

в) в общем случае частичного поглощения и частичного отражения давление имеет промежуточное значение:

9)для электромагнитной волны, раз она производит давление на вещество, можно ввести понятие механического импульса.

С точки зрения механики, при полном поглощении изменение импульса равно импульсу падающей волны и определяется импульсом силы со стороны вещества: .

Сила действующая, со стороны вещества, по третьему закону Ньютона, равна силе, с которой волна действует на вещество и для единичного объема: , причем .

При полном поглощении энергия волны переходит во внутреннюю энергию и по закону Джоуля-Ленца в дифференциальной форме для единичного объема:

. Тогда: .

Следовательно, импульс электромагнитной волны связан с ее энергией: . При распространении электромагнитной волны в вакууме и .

Последнее соотношение между энергией электромагнитного поля и массой является фундаментальным законом природы, так как справедливо для любых форм существования материи.

Как уже обсуждалось, характеристики электромагнитной волны определяются источником излучения. Например, если в качестве источника волны выступает импульсное включение поверхностного тока с периодом 1 мкс, то возникают электромагнитные волны – импульсы от некоторого элемента поверхности (рис.189, а) и в) - моменты включения, б) и г) – моменты выключения тока).

РИС.189

В пространстве существования электромагнитного импульса – это электромагнитное поле, удовлетворяющее уравнениям Максвелла, хотя и не гармонического вида. С точки зрения рассмотрения процесса распространения таких электромагнитных волн, более рациональной будет модель движущейся частицы – кванта.