Л. В. Канторович: теория линейного программирования

Одним из наиболее значительных и ярких достижений в области экономико-математических исследований было открытие Леонидом Витальевичем Канторовичем (1912—1986) метода линейного программирования. Линейное программирование — решение линейных уравнений (уравнений первой степени) посредством составления про­грамм и применения различных методов их последовательного реше­ния, существенно облегчающих расчеты и достижение искомых результатов.

За разработку метода линейного программирования или, как ска­зано в дипломе Шведской академии наук, за «вклад в теорию опти­мального распределения ресурсов единственный из советских экономистов Л. В.Канторович был удостоен Но­белевской премии по экономике (1975). Премия была присуждена ему совместно с американским экономистом Тьяллингом Чарльзом Купансом, который несколько позже, независимо от Канторовича, предложил сходную методологию.

Разработка линейного программирования началась с поиска ре­шения практической задачи. К Канторовичу обратились инженеры фанерного треста с просьбой найти эффективный способ распреде­ления ресурсов, обеспечивающий наиболее высокую производитель­ность оборудования. Работники предприятия ломали голову над тем, как при пяти станках и восьми видах сырья обеспечить оптималь­ный вариант выпуска фанеры. Иными словами, нужно было найти решение конкретной технико-экономической задачи с целевой функцией («функционалом») максимизировать выпуск готовой про­дукции.

Заслуга Канторовичами состоит в том, что он предложил матема­тический метод выбора оптимального варианта. Решая частную зада­чу наиболее рациональной загрузки оборудования, ученый разработал метод, получивший название метода линейного программирования. По сути дела, он открыл новый раздел математики, получивший ши­рокое распространение в экономической практике, способствовав­ший развитию и использованию электронно-вычислительной тех­ники.

В задаче по оптимизации выпуска фанеры Канторович представил переменную, которую следовало максимизировать в виде суммы стои­мостей продукции, производимой всеми станками. Ограничители бы­ли представлены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми затрачиваемыми в производстве факторами (древеси­ной, клеем, электроэнергией, рабочим временем) и количеством вы­пускаемой продукции (фанеры) на каждом из станков.

Для показателей факторов производства были введены коэффици­енты, названные разрешающими множителями, или мультипликато­рами. С их помощью решается поставленная задача. Если известны значения разрешающих множителей, то искомые величины, в частно­сти, оптимальный объем выпускаемой продукции, могут быть сравни­тельно легко найдены.

Канторович обосновал экономический смысл предложенных им коэффициентов (разрешающих множителей). Они представляют собой не что иное, как предельные стоимости производственных факторов. Иначе говоря, это объективно значимые цены каждого из факторов производства применительно к условиям конкурентного рынка.

Для решения задачи на оптимум Канторович использовал метод последовательного сопоставления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи.

Метод линейного программирования позволяет найти оптималь­ное решение. Линейным оно называется потому, что основывается на решении линейных уравнений. Неизвестные в них только первой сте­пени; ни одно неизвестное не перемножается на другое неизвестное. Такие уравнения отражают зависимости, которые могут быть изобра­жены на графике прямыми линиями.

Впервые работа, в которой излагалось существо предложенного Канторовичем метода, была опубликована в 1939 г. под названием «Математические методы организации планирования производства». Продолжая исследования, ученый разрабатывает общую теорию ра­ционального использования ресурсов.

Двойственные оценки

Позже издается одна из наиболее крупных его работ «Экономиче­ский расчет наилучшего использования ресурсов» (1959). В этой кни­ге, как отмечали члены Научного совета по применению математики в научных исследованиях и планировании, представлен углубленный анализ идей линейного программирования, разработанного автором ранее, и вместе с тем впервые ставится проблема разработки опти­мального плана всего народного хозяйства как математической мо­дели.

Несомненной заслугой Канторовича является выявление двойст­венных оценок в задачах линейного программирования. Нельзя одно­временно минимизировать затраты и максимизировать результаты. Одно противоречит другому. Вместе с тем оба подхода взаимосвязаны. Если, скажем, найдена оптимальная схема перевозок, то ей соответст­вует определенная система цен. Если найдены оптимальные значения цен, то сравнительно нетрудно получить схему перевозок, отвечаю­щую требованию оптимальности.

Для любой задачи линейного программирования существует со­пряженная ей, или двойственная, задача. Если прямая задача заклю­чается в минимизации целевой функции, то двойственная — в макси­мизации.

Двойственнее оценки дают принципиальную возможность соиз­мерять не только ценовые, затратные показатели, но и полезности. При этом двойственные, взаимосвязанные оценки соответствуют конкретным условиям. Если изменяются условия, меняются оценки. В известной мере поиск оптимума — это определение общественно необходимых затрат, учитывающих, с одной стороны, трудовые, стои­мостные затраты, а с другой — общественные потребности, полезно­сти продукта для потребителей.