7. Параллельное соединение r, l, c – элементов

В цепь переменного тока параллельно включены реальная катушка индуктивности и конденсатор с потерями (рис. 81 ). Эту цепь можно представить как цепь с двумя ветвями, в одной из которых включены элементы R₁иL₁, а в другой элементыR₂иC₂(рис. 81а). Ветви электрической цепи находятся под одинаковым напряжением

(6-51)

а б в

Рис. 81 Параллельное соединение R, L, C – элементов: а –схема, б.в – векторные диаграммы токов.

Первая ветвь содержит активное сопротивление и индуктивность, следовательно, ток отстает от напряжения на угол , т.е

. (6-52)

Причем,

,

Характер второй ветви активно – емкостной, следовательно, ток опережает напряжение на уголи

. (6-53)

Причем,

,

Полный или результирующий ток

(6-54)

При сложении получается синусоидальная величина с той же частотой и начальной фазой φ. Для нахожденияивоспользуемся правилом векторного сложения.

Построение векторной диаграммы начинаем с ориентации на плоскости вектора U (рис. 81б,в). Под угломφ₁к напряжению откладывается вектор амплитудного ( с учетом знака), либо действующего значения токаI₁в первой ветви, а под угломφ₂вектор токаI₂ во второй ветви ( с учетом знака). Суммируем вектора ( правило параллелограмма) и получаем вектор результирующего тока. Модуль этого вектора определяем по теореме косинусов

+(6-55)

Можно поступить иначе и от косого треугольника токов перейти к прямоугольному треугольнику.

Спроектируем вектора токов на вектор напряжения, получим активную составляющую тока:

(6-56)

Cоставляющие, направленные по линии, перпендикулярной линии напряжения, называют реактивными:

=(6-57)

Составляющие результирующего тока могут быть определены как

Т.е. равны сумме составляющих отдельных ветвей. При этом необходимо учитывать их знак. Для ветви с индуктивным элементом реактивную составляющую тока берут со знаком плюс, для ветви с емкостным элементом – со знаком минус.

Из треугольника токов находим

. (6-58)

Электрическая проводимость. Каждый элемент цепи может характеризоваться сопротивлением или проводимостью. Разделим все стороны треугольников токов (рис. 81в ) на напряжение. Получим треугольник проводимостей, где каждая из сторон представляет соответствующую проводимость.

Отношение активного тока к напряжению – активная проводимостьq:

(6-59)

Отношение реактивного тока к напряжению – реактивная проводимостьb:

(6-60)

Отношение результирующего тока к напряжению – полная проводимостьy:

(6-61)

Единица измерения проводимости –сименс (См=1/ом).

Из диаграммы видно, что составляющие полной проводимости могут быть определены как

;; (6-62)

Тогда полная проводимость

. (6-63)

Аналогично для каждой отдельной ветви можно записать

Воспользовавшись диаграммой можно записать

===

===

===

Связь между сопротивлением и проводимостью. Часто при решении практических задач исходными данными являются сопротивления отдельных элементов цепи, а необходимо определить проводимости и сопротивления всей цепи.

Известно, что Если эти значения подставить в ( ), то

(6-64)

Аналогично ;. Подставляя эти выражения в ( ), получим

(6-65)

Реактивные проводимости сохраняют знак соответствующего сопротивления, т.е.

(6-66)

Полную проводимость можно получить из ( )

(6-67)

Таким образом, полная проводимость цепи равна обратной величине полного сопротивления.

Электрическая мощность. Диаграмму мощностей можно получить из диаграммы токов. Для этого необходимо модули токов умножить на напряжениеU:

(6-68)

(6-69)

Из диаграммы мощностей следует

. (6-70)

Таким образом, при любом числе элементов, включенных параллельно, результирующие ток, проводимость, мощность записываются как корень квадратный из суммы квадратов арифметических сумм активных и алгебраических сумм реактивных значений соответствующих параметров.

8. РЕЗОНАНС ТОКОВ.

Режим, при котором сдвиг фаз между напряжением и током равен нулю в цепи с двумя узлами называется резонансом токов. В этом режиме реактивные токи в ветвях равны по величине.

а б в г

Рис. 82 Электрическая схема с двумя узлами, в которой реальная катушка индуктивности и конденсатор с потерями соединены параллельно: а – схема; б,в,г – векторные диаграммы токов (б), проводимостей (в), мощностей (г).

Условие резонанса токов:

(6-71)

На рис. 82б,в,г показаны векторные диаграммы токов, проводимости и мощности при резонансе.

, (6-72)

Так как =то

. (6-73)

Аналогично полная проводимость цепи

. (6-74)

Так как то полная реактивная проводимость

(6-75)

Полная мощность цепи

. (6-76)

Так как =то полная реактивная мощность=O. Тогда

(6-77)

Сдвиг фаз между напряжением и током

(6-78)

Следовательно, электрическая цепь в состоянии резонанса для источника цепи представляет собой чисто активную нагрузку.

Из равенства реактивных проводимостей можно получить выражение для частоты собственных колебаний рассматриваемой цепи:

;

После преобразований получаем выражение:

;(6-79)

Из выражения видно, что резонансная частота зависит от активных сопротивлений катушки и конденсатора.

Обычно на практике для определения частоты собственных колебаний пользуются приближенной формулой, вытекающей для случая идеальной цепи (нулевые потери энергии). При этом в обеих ветвях отсутствуют активные сопротивления Тогда

=; (6-80)

Эти выражения совпадают с формулами, полученными ранее, для резонанса напряжений и резонанс наступает в электрической цепи при совпадении частот вынужденных и собственных колебаний системы.

Рассмотрим, как меняются проводимость и ток в цепи при изменении частоты.

Ток в неразветвленной части цепи

(6-81)

Таким образом, при резонансе в случае, когда ток минимален и равен суммарному активному току. До и после резонанса ток увеличивается. По величине тока можно установить наличие резонанса, а именно: минимальное значение тока в цепи указывает на момент резонанса.

а б

Рис. 83 Частотные зависимости проводимости (а) и тока (б) в цепи с двумя узлами.

На рис. 83 б показаны резонансная кривая общего тока в цепи и его реактивных составляющих.

Как и в последовательной цепи, резонанса токов в нашем случае можно добиться изменением частоты источника питания или параметров цепи LиC.