7.2. Основные свойства неопределенного интеграла

Приведем основные свойства неопределенного интеграла или правила интегрирования. Предполагается, что все рассматриваемые неопределенные интегралы существуют.

1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

3. Неопределенный интеграл суммы функций равен сумме неопределенных интегралов этих функций:

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

.

5. Если F(x) первообразная для функции f(x), то , гдеk и b – постоянные.

7.3. Таблица простейших интегралов

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. ,

14. 

15. ,

16. 

17. 

7.4. Основные методы интегрирования

7.4.1. Непосредственное интегрирование

Способ непосредственного интегрирования основан на использовании свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличной форме.

Пример. Найти интегралы:

1. .

Решение. На основании свойств 3 и 4 неопределенного интеграла и таблицы интегралов имеем

2. .

Решение. Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла:

3. .

7.4.2. Метод подстановки (замена переменной)

Этот способ заключается в переходе от данной переменной интегрирования к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведения его к одному из табличных.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

1. , где t – новая переменная, а φ(t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда формула замены переменной

.

2. , t – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

Пример. Найти интегралы, используя подходящую подстановку:

1. .

Решение. Введем подстановку t = x³+5. Тогда dt = d(x³+5); dt=3x²dx. Отсюда x²dx=dt/3. Таким образом,

.

Ответ должен быть выражен через «старую» переменную х. Подставляя в результат интегрирования t = x³+5. Окончательно получим .

2. .

Решение.

Условимся в дальнейшем все промежуточные рассуждения и выкладки заключать в вертикальные скобки (как было сделано в примере 2).

7.4.3. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

, (6.4.1)

где u и v непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью формулы (6.4.1) нахождение интеграла сводится к нахождению другого интеграла. Применение этой формулы целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом в качестве u берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример. При нахождении интеграла, полагаяu=x–5, dv=cosxdx, найдем du=dx, . Следовательно, применяя формулу (6.4.1), получим