7.5. Примеры

№1. Найти интегралы непосредственным интегрированием:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Решение.

1. Почленно поделив числитель подынтегральной дроби на знаменатель, будем иметь

.

Тогда

2. Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла, тем самым сводя исходный интеграл к сумме табличных интегралов:

3. 

4. .

Здесь мы воспользовались свойством 5 неопределенного интеграла и формулой 4 пункта 7.3.

№2. Найти интегралы методом подстановки:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Решение.

а)

б)

в)

г)

№3. Найти интегралы с помощью метода интегрирования по частям:

1. ;

2. .

Решение.

1. Положим , откуда. Тогда по формуле(6.4.1) находим

2. (*)

К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям. Положим , тогда, следовательно,

Подставляя найденное выражение в соотношение (*), получим

7.6. Варианты заданий

№7.1. Найти интегралы непосредственным интегрированием:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

№7.2. Найти интегралы методом подстановки:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

№7.3.Найти интегралы с помощью метода интегрирования по частям:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

7.7. Контрольные вопросы

1. Что такое первообразная? Обладают ли первообразные одной функции свойством единственности?

2. Дайте определение, в том числе виде математического выражения, неопределенного интеграла.

3. Что такое подынтегральная функция? Подынтегральное выражение?

4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла. Запишите эти свойства в виде математических выражений.

5. Воспроизведите таблицу основных интегралов. Докажите справедливость записанных выражений с использованием операции дифференцирования.

6. В чем заключается метод замены переменной в определенном интеграле? метод интегрирования по частям?

7. Какие функции в подынтегральном выражении рекомендуется выбирать в качестве и иdv при интегрировании по частям?

8. Назовите основные типы интегралов, к которым применяется метод интегрирования по частям.

9. Что называется рациональной дробью? Как выделить из неправильной рациональной дроби и правильную дробь? Как разложить правильную дробь на сумму простейших?

Глава 8. Определенный интеграл

8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n частей точками a=x₀<x₁<…<x_n–1<x_n=b; на каждом элементарном отрезке [x_k–1, x_k] выберем произвольную точку c_k и обозначим через длину каждого такого отрезка. Вычислим значения функцииf(x) в точках c_k, где k={1, 2, …, n}.

Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a; b] называется сумма вида

(7.1.1)

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы (7.1.1), при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

(7.1.2)

При этом f(x) называется подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, числа а и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, [a; b] – промежутком интегрирования.