Глава 9. Численное интегрирование

Существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подынтегральная функция заменяется «близкой» к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.

9.1. Формула прямоугольников

Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x₀, x₁, … , x_m, то в качестве функции «близкой» к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

Разобьем отрезок интегрирования [a; b] на n равных частей. Обозначим длину каждой части. При этомy₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), …., y_n = f(x_n).

Составим суммы: y₀x + y₁x + … + y_n-1x

y₁x + y₂x + … + y_nx

Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной.

Тогда

или (9.1)

любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.

9.2. Формула трапеций

Эта формула является более точной посравнению с формулой прямоугольников. Подынтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную.

Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций (рис. 9.1). Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

(9.2)

9.3. Метод средних

Пусть для определенности a = x₀, b = x_n. Обозначим через ,,, … середины интервалов(x₀, x₁), (x₁, x₂), (x₂, x₃), … Полагаем f() = ,f() = ,f() =, … . Тогда

(9.3)

Выражение (9.3) определяет площадь ступенчатой фигуры (риc. 8.3.1).

Вбольшинстве случаев при данномn формула (9.3) точнее, чем (9.1) и (9.2). С увеличением n точность формул (9.1), (9.2), (9.3) неограниченно возрастает.

9.4. Формула Симпсона

(формула парабол или квадратурная формула)

Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков п=2m. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x₀), f(x₁), f(x₂).

Для каждой пары отрезков построим такую параболу (рис. 8.4.1).

Уравнения этих парабол имеют видAx² + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

(9.4)

Обозначим .

Если принять х₀ = –h, x₁ = 0, x₂ = h, то

(9.5)

Тогда уравнения значений функции (9.4) имеют вид:

C учетом этого: .

Отсюда уравнение (8.5.1) примет вид:

Тогда

Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.