- •Рязань 2009
- •Глава 1. Предел функции
- •1.1. Определение предела
- •1.2. Операции над пределами
- •1.3. Замечательные пределы
- •1.4. Примеры
- •1.5. Варианты заданий
- •1.6. Контрольные вопросы Глава 2. Производная и дифференциал
- •2.1 Понятие производной
- •2.2. Геометрический и физический смысл производной
- •2.3. Таблица производных
- •2.4. Основные правила дифференцирования
- •2.5. Производные высших порядков
- •2.6. Дифференциал функции
- •2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала
- •2.8. Дифференциалы высших порядков
- •2.9. Примеры
- •2.10. Варианты заданий
- •2.11. Контрольные вопросы
- •Глава 3. Исследование функций и построение графиков
- •3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства
- •3.2. Экстремумы функции
- •3.3. Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
- •3.4. Асимптоты
- •3.5.Общая схема исследования функции и построение графиков
- •3.6. Примеры
- •3.7. Варианты заданий
- •3.8. Контрольные вопросы
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •4.1. Определение функции нескольких переменных
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Полный дифференциал
- •4.5. Примеры
- •4.6. Варианты заданий
- •4.7. Контрольные вопросы Глава 5. Численное дифференцирование
- •5.1. Формулы для вычисления первой производной
- •5.2. Формулы второй производной
- •5.3. Примеры
- •5.4. Варианты заданий
- •5.5. Контрольные вопросы Глава 6 Основы интерполяции.
- •6.1. Постановка задачи
- •Интерполяционные формулы конечных разностей
- •6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей
- •6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
- •6.5. Варианты заданий
- •6.6. Контрольные вопросы Глава 7. Неопределенный интеграл
- •7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •7.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •7.3. Таблица простейших интегралов
- •7.4. Основные методы интегрирования
- •7.4.1. Непосредственное интегрирование
- •7.4.2. Метод подстановки (замена переменной)
- •7.4.3. Интегрирование по частям
- •7.5. Примеры
- •7.6. Варианты заданий
- •7.7. Контрольные вопросы
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •8.2. Основные методы интегрирования
- •8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.2.2. Метод подстановки
- •8.2.3. Интегрирование по частям
- •8.3. Примеры
- •8.4. Варианты заданий
- •8.5. Биологические, физические и медицинские приложения определенного интеграла
- •8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
- •8.5.2. Примеры решения задач.
- •8.5.3. Варианты заданий
- •Глава 9. Численное интегрирование
- •9.1. Формула прямоугольников
- •9.2. Формула трапеций
- •9.3. Метод средних
- •9.4. Формула Симпсона
- •9.5. Примеры
- •9.6. Варианты заданий
- •9.7. Контрольные вопросы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •10.1. Основные определения
- •10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •10.3. Однородные уравнения первого порядка
- •10.4. Линейные уравнения первого порядка
- •9.5. Примеры
- •I. Метод Лагранжа
- •II. Метод Бернулли
- •1) Метод вариации произвольной постоянной
- •2) Метод подстановки
- •10.6. Варианты заданий
- •10.7. Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
- •10.8. Варианты заданий
- •10.9. Контрольные вопросы
- •Глава 11. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •11.1. Метод Эйлера
- •10.2. Метод Рунге – Кутта
- •10.3. Примеры
- •11.4. Варианты заданий
- •11.4. Контрольные вопросы
- •Глава 12. Элементы теории вероятностей
- •12.1. Случайное событие
- •12.2. Комбинаторика
- •12.3. Вероятность случайного события
- •Закон сложения вероятностей
- •12.5. Варианты заданий
- •12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
- •12.7. Варианты заданий
- •12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
- •12.9. Варианты заданий
- •11.10. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
- •12.11. Варианты заданий
- •12.2. Случайные величины
- •12.2.1. Закон распределения случайной величины
- •12.2.2. Функция распределения случайных величин
- •12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •12.2.4. Плотность вероятности непрерывных случайных величин
- •12.2.5. Нормальный закон распределения
- •12.3. Варианты заданий
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований
- •13.1. Основные понятия математической статистики
- •13.1. Варианты заданий
- •13.2. Статистические оценки параметров распределения. Выборочные характеристики
- •13.2.1. Характеристики положения
- •13.2.2. Характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего
- •13.3. Варианты заданий
- •13.4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •13.4.1. Точечная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.5. Варианты заданий
- •13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.7. Варианты заданий
- •1.8. Контрольные вопросы
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ
- •14.1. Функциональная и корреляционная зависимости
- •14.2. Коэффициент линейной корреляции и его свойства
- •14.3. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента линейной корреляции
- •14.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •14.5. Нелинейная регрессия
- •14.6. Варианты заданий
- •Приложение
- •Критические значения выборочного коэффициента корреляции
- •Критерий Колмогорова – Смирнова Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функции распределения
- •Распределение Пирсона (х2– распределение)
- •Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований 160
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ 180
Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
Значения Fтабл, удовлетворяющие условию P(F > Fтабл). Первое значение соответствует вероятности 0,05; второе – вероятности 0,01 и третье – вероятности 0,001; 1 – число степеней свободы числителя; 2 – знаменателя
Таблица 7
1 2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
8 |
12 |
24 |
|
t |
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 |
161,4 4052 406523
18,51 98,49 998,46
10,13 34,12 67,47
7,71 21,20 74,13
6,61 16,26 47,04
5,99 13,74 35,51
5,59 12,25 29,22
5,32 11,26 25,42
5,12 10,56 22,86
4,96 10,04 21,04 |
199,5 4999 500016
19,00 99,01 999,00
9,55 30,81 148,51
6,94 18,00 61,24
5,79 13,27 36,61
5,14 10,92 26,99
4,47 9,55 21,69
4,46 8,65 18,49
4,26 8,02 16,39
4,10 7,56 14,91 |
215,7 5403 536700
19,16 99,17 999,20
9,28 29,46 141,10
6,59 16,69 56,18
5,41 12,06 33,20
4,76 9,78 23,70
4,35 8,45 18,77
4,07 7,59 15,83
3,86 6,99 13,90
3,71 6,55 12,55 |
224,6 5625 562527
19,25 99,25 999,20
9,12 28,71 137,10
6,39 15,98 5343
5,19 11,39 31,09
4,53 9,15 21,90
4,12 7,85 17,19
3,84 7,10 14,39
3,63 6,42 12,56
3,48 5,99 11,28 |
230,2 5764 576449
19,30 99,30 999,20
9,01 28,24 134,60
6,26 15,52 51,71
5,05 10,97 20,75
4,39 8,75 20,81
3,97 7,46 16,21
3,69 6,63 13,49
3,48 6,06 11,71
3,33 5,64 10,48 |
234,0 5859 585953
19,33 99,33 999,20
8,94 27,91 132,90
6,16 15,21 50,52
4,95 10,67 28,83
4,28 8,47 20,03
3,87 7,19 15,52
3,58 6,37 12,86
3,37 5,80 11,13
3,22 5,39 9,92 |
238,9 5981 598149
19,37 99,36 999,40
8,84 27,49 130,60
6,04 14,80 49,00
4,82 10,27 27,64
4,15 8,10 19,03
3,73 6,84 14,63
3,44 6,03 12,04
3,23 5,47 10,37
3,07 5,06 9,20 |
243,9 6106 610598
19,41 99,42 999,60
8,74 27,05 128,30
5,91 14,37 47,41
4,68 9,89 26,42
4,00 7,72 17,99
3,57 6,47 13,71
3,28 5,67 11,19
3,07 5,11 9,57
2,91 4,71 8,45 |
249,0 6234 623432
19,45 99,46 999,40
8,64 26,60 125,90
5,77 13,93 45,77
4,53 9,47 25,14
3,84 7,31 16,89
3,41 6,07 12,73
3,12 5,28 10,30
2,90 4,73 8,72
2,74 4,33 7,64 |
253,3 6366 636535
19,50 99,50 999,40
8,53 26,12 123,50
5,63 13,46 44,05
4,36 9,02 23,78
3,67 6,88 15,75
3,23 5,65 11,70
2,99 4,86 9,35
2,71 4,31 7,81
2,54 3,91 6,77 |
12,71 63,66 636,2
4,30 9,92 31,00
3,18 5,84 12,94
2,78 4,60 8,61
2,57 4,03 6,86
2,45 3,71 5,96
2,36 3,50 5,40
2,31 3,36 5,04
2,26 3,25 4,78
2,23 3,17 4,59 |
Продолжение таблицы 7
1 2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
8 |
12 |
24 |
|
t |
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22 |
4,84 9,65 19,69
4,75 9,33 18,64
4,67 9,07 17,81
4,60 8,86 17,14
4,45 8,68 16,59
4,41 8,53 16,12
4,45 8,40 15,72
4,41 8,28 15,38
4,38 8,18 15,08
4,35 8,10 14,82
4,32 8,02 14,62 4,30 7,94 14,38 |
3,98 7,20 13,81
3,88 6,93 12,98
3,80 6,70 12,31
3,74 6,51 11,78
3,68 6,36 11,34
3,63 6,23 10,97
3,59 6,11 10,66
3,55 6,01 10,39
3,52 5,93 10,16
3,49 5,85 9,95
3,47 5,78 9,77 3,44 5,72 9,61 |
3,59 6,22 11,56
3,49 5,95 10,81
3,41 5,74 10,21
3,34 5,56 9,73
3,29 5,42 9,34
3,24 5,29 9,01
3,20 5,18 8,73
3,16 5,09 8,49
3,13 5,01 8,28
3,10 4,94 8,10
3,07 4,87 7,94 3,05 4,82 7,80 |
3,36 5,67 10,35
3,26 5,41 9,63
3,18 5,20 9,07
3,11 5,03 8,62
3,06 4,89 8,25
3,01 4,77 7,94
2,96 4,67 7,68
2,93 4,58 7,46
2,90 4,50 7,26
2,87 4,43 7,10
2,84 4,37 6,95 2,82 4,31 6,87 |
3,20 5,32 9,58
3,11 5,06 8,89
3,02 4,86 8,35
2,96 4,69 7,92
2,90 4,56 7,57
2,85 4,44 7,27
2,81 4,34 7,02
2,77 4,25 6,81
2,74 4,17 6,61
2,71 4,10 6,46
2,68 4,04 6,32 2,66 3,99 6,19 |
3,09 5,07 9,05
3,00 4,82 8,38
2,92 4,62 7,86
2,85 4,46 7,44
2,79 4,32 7,09
2,74 4,20 6,80
2,70 4,10 6,56
2,66 4,01 6,35
2,63 3,94 6,18
2,60 3,87 6,02
2,57 3,81 5,88 2,55 3,75 5,76 |
2,95 4,47 8,35
2,85 4,50 7,71
2,77 4,30 7,21
2,70 4,14 6,80
2,64 4,00 6,47
2,59 3,89 6,20
2,55 3,79 5,96
2,51 3,71 5,76
2,48 3,63 5,59
2,45 3,56 5,44
2,42 3,51 5,31 2,40 3,45 5,19 |
2,79 4,40 7,62
2,69 4,16 7,00
2,60 3,96 6,52
2,53 3,80 6,13
2,48 3,67 5,81
2,42 3,55 5,55
2,38 3,45 5,32
2,34 3,37 5,13
2,31 3,30 4,97
2,28 3,23 4,82
2,25 3,17 4,70 2,23 3,12 4,58 |
2,61 4,02 6,85
2,50 3,78 6,25
2,42 3,59 5,78
2,35 3,43 5,41
2,29 3,29 5,10
2,24 3,18 4,85
2,19 3,08 4,63
2,15 3,01 4,45
2,11 2,92 4,29
2,08 2,86 4,15
2,05 2,80 4,03 2,03 2,75 3,92 |
2,40 3,60 6,00
2,30 3,36 5,42
2,21 3,16 4,97
2,13 3,00 4,60
2,07 2,87 4,31
2,01 2,75 4,06
1,96 2,65 3,85
1,92 2,57 3,67
1,88 2,49 3,52
1,84 2,42 3,38
1,82 2,36 3,26 1,78 2,30 3,15 |
2,20 3,11 4,49
2,18 3,06 4,32
2,16 3,01 4,12
2,14 2,98 4,14
2,13 2,95 4,07
2,12 2,92 4,02
2,11 2,90 3,96
2,10 2,88 3,92
2,09 2,86 3,88
2,09 2,84 3,85
2,08 2,83 3,82 2,07 2,82 3,79 |
Продолжение таблицы 7
1 2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
8 |
12 |
24 |
|
t |
23
24
25
26
27
28
29
30
60
|
4,28 7,88 14,19
4,26 7,82 14,03
4,24 7,77 13,88
4,22 7,72 13,74
4,21 7,68 13,61
4,19 7,64 13,50
4,18 7,60 13,39
4,17 7,56 13,29
4,00 7,08 11,97
3,84 6,64 10,83 |
3,42 5,66 9,46
3,40 5,61 9,34
3,38 5,57 9,22
3,37 5,53 9,12
3,35 5,49 9,02
3,34 5,45 8,93
3,33 5,42 8,85
3,32 5,39 8,77
3,15 4,98 7,76
2,99 4,60 6,91 |
3,03 4,76 7,67
3,01 4,72 7,55
2,99 4,68 7,45
2,98 4,64 7,36
2,96 4,60 7,27
2,95 4,57 7,18
2,93 4,54 7,12
2,92 4,51 7,05
2,76 4,13 6,17
2,60 3,78 5,42 |
2,80 4,26 6,70
2,78 4,22 6,59
2,76 4,18 6,49
2,74 4,14 6,41
2,73 4,11 6,33
2,71 4,07 6,25
2,70 4,04 6,19
2,69 4,02 6,12
2,52 3,65 5,31
2,37 3,32 4,62 |
2,46 3,94 6,08
2,62 3,90 5,98
2,60 3,86 5,89
2,59 3,82 5,80
2,57 3,78 5,73
2,56 3,75 5,66
2,54 3,73 5,59
2,53 3,70 5,53
2,37 3,34 4,76
2,21 3,02 4,10 |
2,53 3,71 5,56
2,51 3,67 5,55
2,49 3,63 5,46
2,47 3,59 5,38
2,46 3,56 5,31
2,44 3,53 5,24
2,43 3,50 5,18
2,42 3,47 5,12
2,25 3,12 4,37
2,09 2,80 3,74 |
2,38 3,41 5,09
2,36 3,36 4,99
2,34 3,32 4,91
2,32 3,29 4,83
2,30 3,26 4,76
2,29 3,23 4,69
2,28 3,20 4,65
2,27 3,17 4,58
2,10 2,82 3,87
1,94 2,51 3,27 |
2,20 3,07 4,48
2,18 3,03 4,39
2,16 2,99 4,31
2,15 2,96 4,24
2,13 2,93 4,17
2,12 2,90 4,11
2,10 2,87 4,05
2,09 2,84 4,00
1,92 2,50 3,31
1,75 2,18 2,74 |
2,00 2,70 3,82
1,98 2,66 3,84
1,96 2,62 3,66
1,95 2,58 3,59
1,93 2,55 3,52
1,91 2,52 3,46
1,90 2,49 3,41
1,89 2,47 3,36
1,70 2,12 2,76
1,52 1,79 2,13 |
1,76 2,26 3,05
1,73 2,21 2,97
1,71 2,17 2,89
1,69 2,13 2,82
1,67 2,10 2,76
1,65 2,06 2,70
1,64 2,03 2,64
1,62 2,01 2,59
1,39 1,60 1,90
1,03 1,04 1,05 |
2,07 2,81 3,77
2,06 2,80 3,75
2,06 2,79 3,72
2,06 2,78 3,71
2,05 2,77 3,69
2,05 2,76 3,67
2,05 2,76 3,66
2,04 2,75 3,64
2,00 2,66 3,36
1,96 2,58 3,29 |