12.3. Варианты заданий

№12.1. Случайная величина X задана законом распределения:

	2	3	10
	0,1	0,4	0,5

Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения.

№12.2. Найти дисперсию случайной величины X, зная закон ее распределения. Построить многоугольник распределения.

	-1	1	2	3
	0,48	0,01	0,09	0,42

№12.3. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения.

	0,2	0,4	0,6	0,8	1
	0,1	0,2	0,4	P4	0,1

Чему равна вероятность Р₄(X=0,8)? Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

№12.4. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения.

	3	4	5	6	7
	P1	0,15	P3	0,25	0,35

Найти вероятность Р₁(х = 3) и P₃(х = 5), если известно, что Р₃ в 4 раза больше Р₁. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

№12.5. Дискретная случайная величина x – число мальчиков в семьях с 3 детьми. Предполагая равновероятными рождения мальчика и девочки: а) составьте ряд распределения числа рождений мальчиков; б) постройте многоугольник распределения.

№12.6. 2 стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по 2 выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,6. Найдите закон распределения случайной величины x, равной общему числу попаданий в мишень.

№12.7. Дискретная случайная величина x задана таблицей распределения:

xi	-1	0	1
pi	0,25	0,5	0,25

Найдите функцию распределения F(x) и, используя ее, найдите вероятность события . Постройте график функцииF(x).

№12.8. Случайная величина X имеет плотность вероятности

Найдите функцию распределения F(x) и вероятность события

№12.9. Плотность вероятности случайной величины x, распределенной равномерно на отрезке, имеет вид:

Найдите математическое ожидание величины x.

№12.10. Даны все возможные значения дискретной случайной величины X: x₁=1, x₂=2, x₃=3, а также известны Найдите закон распределения величиныx.

№12.11. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины x, имеющей плотность вероятности

.

Пользуясь правилом «трех сигм», укажите интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который попадает случайная величина x с вероятностью 0,9973.

Глава 13. Статистический анализ результатов исследований

13.1. Основные понятия математической статистики

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы сбора и анализа данных по результатам эксперимента для выявления существующих закономерностей, т.е. отыскания законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.

В математической статистике принято выделять два основных направления исследований:

1.Оценка параметров генеральной совокупности.

2.Проверка статистических гипотез (некоторых априорных предположений).

Основными понятиями математической статистики являются: генеральная совокупность, выборка, теоретическая функция распределения.

Генеральной совокупностью является набор всех мыслимых статистических данных при наблюдениях случайной величины.

Х_Г = {х₁, х₂, х₃, …, х_N, } = { х_i ; i=1,N }

Наблюдаемая случайная величина Х называется признаком или фактором выборки. Генеральная совокупность – есть статистический аналог случайной величины, ее объем N обычно велик, поэтому из нее выбирается часть данных, называемая выборочной совокупностью или просто выборкой.

Х_В = {х₁, х₂, х₃, …, х_n, } = { х_i ; i=1,n }

Х_В  Х_Г, n  N

Выборка – это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов) из генеральной совокупности для непосредственного изучения. Количество объектов в выборке называется объемом выборки и обозначается n. Обычно выборка составляет 5%-10% от генеральной совокупности.

Использование выборки для построения закономерностей, которым подчинена наблюдаемая случайная величина, позволяет избежать ее сплошного (массового) наблюдения, что часто бывает ресурсоемким процессом, а то и просто невозможным.

Например, популяция представляет собой множество индивидуумов. Изучение целой популяции трудоемко и дорого, поэтому собирают данные по выборке индивидуумов, которых считают представителями этой популяции, позволяющими сделать вывод относительно этой популяции.

Однако, выборка обязательно должна удовлетворять условию репрезентативности, т.е. давать обоснованное представление о генеральной совокупности. Как сформировать репрезентативную (представительную) выборку? В идеале стремятся получить случайную (рандомизированную) выборку. Для этого составляют список всех индивидуумов в популяции и случайно их отбирают. Но иной раз затраты при составлении списка могут оказаться недопустимыми и тогда берут приемлемую выборку, например, одну клинику, больницу и исследуют всех пациентов в этой клинике с данным заболеванием.

Каждый элемент выборки называетсявариантой. Число повторений варианты в выборке называется частотой встречаемости . Величина называетсяотносительной частотой варианты, т.е. находится как отношение абсолютной частоты варианты ко всему объему выборки. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называетсявариационным рядом.

Рассмотрим три формы вариационного ряда: ранжированный, дискретный и интервальный.

Ранжированный ряд - это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания изучаемого признака.

Дискретный вариационный ряд представляет собой таблицу, состоящую из граф, либо строк: конкретного значения признака х_i и абсолютной частоты n_i (или относительной частоты ω_i) проявления i-го значения признака x.

Примером вариационного ряда служит таблица

Значение		14	14,3	14,7	15,0	15,5
Частота		0,08	0,16	0,29	0,34	0,13

Статистическое распределение – это совокупность вариант и соответствующих им частот. Для проверки правильности записи статистического распределения используют условие нормировки:.

Задано распределение частот выборки объема n=20.

	2	6	12
	3	10	7

Написать распределение относительных частот.

Решение: Найдем относительные частоты. Для этого разделим частоты на объем выборки:

Распределение относительных частот имеет вид:

	2	6	12
	0,15	0,5	0,35

Контроль: 0,15 + 0,5 + 0,35 = 1.

Дискретный ряд можно изобразить графически. В прямоугольной декартовой системе координат отмечаются точки с координатами () или (), которые соединяются прямыми линиями. Такую ломаную называют полигоном частот.

Построить дискретный вариационный ряд (ДВР) и начертить полигон распределения 45 абитуриентов по числу баллов, полученных ими на приемных экзаменах:

39 41 40 42 41 40 42 44 40 43 42 41 43 39 42 41 42 39 41 37 43 41 38 43 42 41 40 41 38 44 40 39 41 40 42 40 41 42 40 43 38 39 41 41 42.

Решение: Для построения вариационного ряда различные значения признака x (варианты) располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту.

	37	38	39	40	41	42	43	44
	1	3	5	8	12	9	5	27

Построим полигон этого распределения:

Рис. 13.1. Полигон частот

Интервальный вариационный ряд используется при большом числе наблюдений. Для построения такого ряда надо выбрать число интервалов признака и установить длину интервала. При большом числе групп величина интервала будет минимальна. Число групп в вариационном ряду можно найти по формуле Стерджеса: (k-число групп, n - объем выборки), а ширину интервала –

где - максимальное;- минимальное значения вариант, а их разностьR носит название размаха вариации.

Исследуется выборка из 100 человек из совокупности всех студентов медицинского ВУЗа.

Решение: Рассчитаем число групп: . Таким образом, для составления интервального ряда данную выборку лучше разбить на 7 или 8 групп. Совокупность групп, на которые разбиваются результаты наблюдений и частот получения результатов наблюдений в каждой группе, называютстатистической совокупностью.

Для наглядного представления статистического распределения пользуются гистограммой.

Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных на одной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине интервала, а высота равна или частоте попадания в интервал или относительной частоте ω_i.

Наблюдения за числом частиц, попавших в счетчик Гейгера, в течение минуты дали следующие результаты:

21 30 39 31 42 34 36 30 28 30 33 24 31 40 31 33 31 27 31 45 31 34 27 30 48 30 28 30 33 46 43 30 33 28 31 27 31 36 51 34 31 36 34 37 28 30 39 31 42 37.

Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами (I интервал 20-24; II интервал 24-28 и т.д.) и начертить гистограмму.

Решение: n=50

Интервал	20-24	24-28	28-32	32-36	36-40	40-44	44-48	48-52
Частота	1	4	22	8	7	4	2	2

Гистограмма этого распределения имеет вид:

Рис. 13.2. Гистограмма распределения