9.5. Примеры

Уравнения с разделяющимися переменными

№1. Найти общий интеграл уравнения 6e^x cos²y dx + (1 – 2e^x) ctg y dy=0.

Решение. Разделим переменные в данном уравнении, поделив обе его части на выражение cos²y (1 – 2e^x):

.

Интегрируя обе части уравнения, имеем

–3 ln|1–2e^x|+ln|tg y| = ln |C|, C

(поскольку C – произвольная постоянная, то для удобства дальнейших преобразований мы заменили С на ln|C|). Отсюда

или .

Получили общий интеграл данного уравнения. При делении на cos²y(1–2e^x) мы могли потерять решения , k – целое число, x= –ln2, но они содержатся в общем интеграле, если подставить значение С = 0.

№2. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде . Разделяя переменные, будем иметьи, следовательно,.

После потенцирования получим общее решение

(10.10)

При делении на у мы могли потерять решение у=0, но последнее содержится в формуле (10.10) при С=0.

№3. Найти частное решение ДУ при начальных условияхy(1)=1.

Решение. Разделяя переменные, приведем данное уравнение к виду . Интегрируя обе части уравнения, получим. Это и есть общий интеграл исходного уравнения.

Подставим теперь начальные условия и найдем произвольную постоянную С: , т.е.. Следовательно,, откуда получаем искомое частное решение.

Однородные уравнения первого порядка

№4. Найти общее решение уравнения (х+у)dx–xdy=0.

Решение. Данное уравнение является однородным уравнением первой степени относительно переменных х и у. Действительно,

P(λx, λy)=λx+λy=λ(x+y)= λP(x,y), Q(λx, λy)= –λx=λ(–x)=λQ(x, y).

Положим у=uх, где u – новая функция от х. Найдем дифференциал произведения: dy=хdu+udх. Подставив выражение у и dy в данное уравнение, получим

(х+uх)dх–х(хdu+udх)=0, откуда хdх+uхdх–х²du–хudх=0; хdх–х²du=0 или dх–хdu=0.

Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, находим

, .

Заменяя в полученном выражении u на , получиму=xln(Cx). Это и есть общее решение данного уравнения.

Отметим, что заданное уравнение можно было сначала привести к виду (9.3.2):

. Иначе . Далее применять указанную выше подстановку и т.д.

№5. Найти общее решение уравнения:.

Решение. Это однородное уравнение третьей степени. Преобразуем его к виду (10.6):

Полагая у=uх, находим Подставим значенияв данное уравнение:. Преобразовывая, получим уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим:

.

Подставим теперь в полученное решение. Имеемгде.

Итак, общее решение исходного уравнения

№6. Найти частное решение уравнения еслиу=–1 при х=1.

Решение. Перепишем уравнение в виде

х²dy = (xy + y²)dx (*)

и воспользуемся подстановкой у=uх. Тогда dy= udх+ хdu. Подставив выражение у и dy в уравнение (*), имеем

х²(udх + хdu)=(х^.uх+u²х²)dх;

x²(udx+xdu)=x²(u+u²)dx;

udx+xdu= udx+ u²dx; т.е.

xdu= u²dx.

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим

.

Так как u=, то .

Используя начальные условия х=1, у= –1, имеем 1=ln1+C, откуда С=1. Следовательно,

,

Отсюда получаем искомое частное решение данного уравнения .

№7. Привести дифференциальное уравнение

к однородному.

Решение. Иначе это уравнение можно записать так . Здесь, поэтому положивx=u+α, y=v+β, получаем (u+β+2)du–(2u+2α+v+β+6)dv=0, т. е.

(u+(β+2))du–(2u+v+(2α+β+6))dv=0.

Подберем α и β так, чтобы Решая систему, находим

α=–2, β=–2. Тогда данное уравнение преобразуется к виду (10.5): , т.е. является однородным.

Линейные уравнения первого порядка

№8. Решить уравнение .

Решение. Здесь P(x)=–ctgx, Q(x)=sinx. Решим уравнение двумя методами.