I. Метод Лагранжа

Найдем сначала общее решение соответствующего ЛОДУ , т.е.. Предположим, что(у=0 – решение данного уравнения), разделяя переменные и интегрируя, получим

, ,

Отсюда .

Общее решение ЛНДУ ищем в виде .

Найдем .

Подставим у и в исходное уравнение:

или .

Получили или. Тогда.

Следовательно, общее решение исходного уравнения есть y=(x+C) sin x.

II. Метод Бернулли

Пусть. Тогда и уравнение принимает вид

,

или

.

Подберем функцию u(x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, т.е. решим первое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными ,

.

Откуда u=С₁sin x.

Пусть С₁=1, u=sin x.

, отсюда , т.е. .

Итак, y=(x+C)·sin x, есть общее решение данного ЛНДУ.

№9. Найти общее решение уравнения

Решение. Данное уравнение не является линейным относительно х и . Так как, то приведем исходное уравнение к виду(10.6):

, т.е. илиДалее это ДУ решим двумя методами:

1) Метод вариации произвольной постоянной

Найдем сначала общее решение соответствующего ЛОДУ Разделяя переменные и интегрируя, получимln|x| = ln |y| + ln |C₁|, C₁.

Общее решение ЛОДУ можно записать так х= Су, (так как х=0 – решение).

Общее решение заданного (преобразованного) уравнения ищем в виде х=С(у)у (постоянную С заменили неизвестной функцией С(у)). Подставляя х и в ЛНДУ, придем к равенству:

, т.е.

.

Отсюда . Интегрируя, имеемС(у) = у + С.

Таким образом, общее решение ЛНДУ есть х = (у + С)у или х = у² + Су. Заметим, что у=0 также является решением, и для нашего примера оно является особым.

2) Метод подстановки

Полагаем , где u=u(y), v=v(y) – функции переменной у. Подставим х и в уравнение

или

. (*)

Решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными ,

откуда v=Cy, .

Выбираем одно из частных решений (самое простое), например, при С=1, т. е. v=y. Подставив v=y в уравнение (*), получим или. Тогда u = у + С. Следовательно, общее решение заданного уравнения х=у²+Су, , при этом у=0 – особое решение.

10.6. Варианты заданий

Уравнения с разделяющимися переменными

№10.1. Найти общие интегралы (общие решения) уравнений.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

№10.2. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

Однородные уравнения первого порядка

№10.3. Найдите общие решения уравнений:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

№10.4. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

1. ;

2. xy²dy=(x³+y³)dx, y(1)=3;

3. (x²+y²)dx=xydy, y(1)=0;

4. (x – y)dy = y dx, y(0)=1;

5. =+sin(),y(1)=π/2;

6. 

7. xcos()dy–ycos()dx+xdx=0, y(1)=0.

Линейные уравнения первого порядка

№10.5. Решить дифференциальные уравнения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. .

№10.6. Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям:

1. ;

2. ;

3. 

4. ;

5. ;

6. .