2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала

Пусть кривая, изображенная на рис. 2.3 является графиком функцииy=f(x).

Из треугольника MKL выразим сторону KL:

KL = tgx = f ^/ (x)x = dy

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.

Дифференциал сложной функции

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у – сложная функция.

Тогда

dy = f (x)g(t)dt = f (x)dx. (2.5)

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой-то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

2.8. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a; b). Тогда в каждой точке этого интервала определен дифференциал dу=f ^/ (x)dx функции f(x), называемый также дифференциалом первого порядка (или первым дифференциалом).

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) от функции y=f(x) в точке х(a; b) называется дифференциал от дифференциала первого порядка функции f(x) в этой точке.

Дифференциал второго порядка обозначается d²f(х) или d²y (читается: «дэ два игрек»). Таким образом, d²y=d(dy). Учитывая, что dу=f ^/ (x)dx, где dx – не зависящая от х константа получим

d²y=f^//(x)dx².

Аналогично определяются дифференциалы третьего и более высоких порядков: d³y=d(d²y), d⁴y=d(d³y), … В общем случае, дифференциалом п-ного порядка от функции f(x) в точке x называется дифференциал от дифференциала (п–1)-го порядка функции f(x) в этой точке:

dⁿy=d(d^n–1y), где dⁿy=f⁽ⁿ⁾dxⁿ.

Отсюда следует, что .

Заметим, что для дифференциалов высших порядков свойство инвариантности не имеет места.

2.9. Примеры

№1. Найти производную функции .

Решение.

№2. Найти производную функции .

Решение.

№3. Точка движется по закону х(t) = t – sin t. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t=4с.

Решение.

Воспользуемся формулой (3.3.1):

V= х′(t) = (t – sin t) ′ = 1 – cos t,

V(4)=1–cos 41,6 (м/с).

Аналогично по формуле (3.3.2):

а= V′ = (1 – cos t) ′ = sin t,

а(4)=sin 4–0,76 (м/с²).

№4. Найти дифференциал функции f (x) = ln(x²+1).

Решение.

По формуле (3.8.1) получим

df = (ln (x²+1)) ′dx =

№5. Найти производную второго порядка от функции f (x) = sin² х.

Решение.

№6. Вычислить значение дифференциала функции f (x) = х³+2х, когда х изменяется от 1 до 1,1.

Решение.

Прежде находим общее выражение для дифференциала этой функции:

df = (x³+2x) ′dx = (3x²+2)dx.

Определим приращение аргумента Δx=dx = 1,1–1=0,1.

Подставляя значения dx=0,1 и x=1 в последнюю формулу, получаем искомое значение дифференциала: df=0,5.

№7. Используя понятие дифференциала, найти приближенное значение.

Решение.

Рассмотрим функцию f(x)=. Требуется вычислить значение f(1,06). Выберем х₀ = 1, Δх = 0,06 и воспользуемся формулой (3.7.2)

f(1+0,06) ≈ f (1)+f ^/(1) 0,06=.

Здесь мы воспользовались равенством