2.10. Варианты заданий

№2.1. Найти производные следующих функций:

1. у = сos³x;

2. ;

3. у=(3x+2)(x²+4x–1);

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. 

11. 

12. 

13. 

14. у =

15. у =

16. 

17. 

18. 

19. у = sin³(2x + π/6)

20. y = (3x+1)²(2x-3)⁷

21. 

22. y = cos(sin(cos(sinx)))

23. y = x³ + e^x –cos3x

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. y = x^tgx

33. y = x^cosx

34. y = x^sin2x

35. y =

№2.2. Найти производную данной функции в точке х₀:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

№2.3. Найти производные указанных порядков для следующих функций:

1. y = ln cos x, y^//=?;

2. y = 5^x, y^///=?;

3. y = sin² x, y^///=?;

4. ;

5. , у^//=?;

6. .

№2.4. Решить следующие задачи:

1. Составить уравнение касательной к гиперболе в точке с абсциссойх=–0,5.

2. Точка движется по прямой так, что ее расстояние s от начального пункта через t сек. равно. В какие моменты точка была в начальном пункте? В какие моменты ее скорость равна нулю?

3. Количество вещества, протекшее через проводник, начиная с момента времени t=0, дается формулой Q=2t²+3t+1 (кулонов). Найти силу тока в конце пятой секунды.

4. Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.

№2.5. Найдите производную указанной функции, сначала по х, считая t постоянной, а затем по t, считая х постоянной:

1. 

2. 

3. 

№2.6. Найти дифференциалы указанных порядков для следующих функций:

1. , d–?

2. , d–?

3. ln (ln x), d–?

4. sin 2x, d²–?

5. e^{cos x}, d²–?

6. e^x+x², d³–?

7. , d–?

8. e^2x, d⁽ⁿ⁾–?

№2.7. Вычислить приближенно:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ln 1,02.

2.11. Контрольные вопросы

1. Что такое приращение аргумента и приращение функции.

2. Какие значения могут они принимать?

3. Дайте определение производной функции в точке.

4. Запишите различные обозначения производной.

5. Что является биологическим смыслом производной?

6. Объясните алгебраический, физический смысл производной?

7. Объясните геометрический смысл производной.

8. Приведите примеры производной.

9. Что называется производной сложной функции?

10. Что называется производной высшего порядка?

11. Дайте понятие дифференциала функции.

12. Для всех ли функций существует дифференциал?

13. В чем состоит алгебраический смыслы дифференциала

14. В чем состоит геометрический смыслы дифференциала?

15. Докажите, что дифференциал аргумента равен его приращению.

16. Перечислите свойства дифференциала.

17. Дайте определения, в том числе в виде математического выражения, дифференциала 2-го порядка, n-го порядка.

Глава 3. Исследование функций и построение графиков

3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства

Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f ^/ (x)  0.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f ^/(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b] (рис. 3.1).

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f ^/(x)0 на этом отрезке. Если f  (x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b] (рис. 3.2).

Конечно, данное утверждение справедливо, если функцияf(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).