elemen_teorija

Рассмотрим теперь операцию взятия образа. Если X и Y — множества,

а f Y X , то	(f1(E))E P(X) P(Y )P(X).	(1.2.11)

Для наших целей полезны также естественные сужения функции (1.2.11) на подсемейства P(X). Здесь, в частности, возможно применение (1.1.33).

Итак, если X и Y — множества, f			Y X и		(P	(X) , то
1				L P		)
(f	(L))L L P(Y )L;					(1.2.12)

при этом согласно свойствам множеств вида (1.1.30) имеем, что

f1(L) P(Y )

L L

есть такое единственное множество, что

( ) (

f1(Λ) f1(L) Λ L & y

)

1 ˜ 1 ˜

f (L) L L : y f (L) .

	L L			L L
Более того, при вышеупомянутых условиях (X и Y						— множества, f
Y X , L P	(P(X)))	f1	(L L L)=	L L f1	(L);	(1.2.13)

для проверки (1.2.12) достаточно воспользоваться соотношением (1.2.1).

Кроме того, в согласии с (1.1.33) имеем, если X и Y — множества, f Y X
в			(	)
и L P′				P(X) , что (1.2.12) есть такая функция из непустого множества
	семейство, что корректно определяется единственное множество
					∩
					f1(L) P(Y ),
					L L
для которого справедливы следующие два свойства:
		)	∩		Λ L;
	1′)		f1(L) f1(Λ)
	2′		L L
			для всякого объекта v истинна импликация
				(	)	∩
				v f1	(L˜) L˜ L =	(v L L f1(L)).

При этом, однако, имеется особенность: если X и Y — множества, f Y X
и L P′(P(X)), то	f1	(L L L) L L f1		(L),	(1.2.14)
		∩	∩

30

причем равенства в (1.2.14) может и не быть. Отметим два очевидных частных случая (1.2.12), (1.2.14): если X и Y — множества, f Y X , A P(Y )

и B P(Y ), то

( ) ( )

f1(A B) = f1(A) f1(B) & f1(A ∩ B) f1(A) ∩ f1(B) ; (1.2.15)

кроме того, легко проверяется следующее свойство

f1(A) \ f1(B) f1(A \ B).

Из (1.2.1) и (1.2.4) вытекает следующее очевидное свойство: если X и Y —

множества, f Y X и B P(Y ), то

))

f1

f 1

B

B

(в самом деле, если

y

f1

f−1((B)−,

(

y = f(x)

(1.2.16)

то в силу (1.2.1)

для некото-

рого

x

f−1(B);

однако, в(

силу

(1.2.4) f(x)

B и, стало быть, y

B). С

)

другой стороны, при всяком выборе множеств X и Y, функции f Y X и множества A P(X) имеем вложение

A f−1(f1(A))	1	(1.2.17)
(в самом деле, если x A, то согласно (1.2.1) f(x) f		(A), а тогда x X

( )

обладает, в силу (1.2.4) свойством x f−1 f1(A) ; учитываем при этом отмечавшееся ранее свойство f1(A) P(Y )). В связи с условиями, при которых (1.2.16) и (1.2.17) обращаются в равенство, см., в частности, [27, c. 44]. Сейчас ограничимся определением сюръективных и биективных отображений: если X и Y — множества, то

X		X	1	(X) = Y }
Y( )	= {f Y		| f
есть множество всех сюръекций множества X на множество Y ; кроме того,
(bi)[X; Y ] = {f Y(X) | x1 X x2 X				(	f(x1) = f(x2) (x1 = x2))}
есть множество всех биекций X на Y.					(	)
Как обычно, полагаем def для двух множеств X и Y, что
	(				)	(1.2.18)
(X Y )		(bi)[X; Y ] ̸= ;

тем самым введено понятие равномощности двух множеств.

Рассмотрим важное понятие обобщенного декартова произведения, понимая под этим произведение множеств сколь угодно «большого» семейства (мы избегаем использовать термин «мощность»).

31

Функцию h, понимаемую в согласии с (1.1.16), назовем множественнозначной, сели при всяком выборе x Dom(h) значение h(x) этой функции h есть множество. Тогда для каждой множественнозначной функции h множество Im(h) есть семейство, и, как следствие, определено множество

S

S Im(h)

(вместо S можно использовать ПБ).

Замечание 1.2.1. С учетом (1.1.16) и (1.1.17) мы имеем , что для всякой

функции f и точки z f выполнено z =			pr1(z), pr2(z) , где pr1(z)
Dom(f) и pr2(z) Im(f) и, как следствие, pr2((z) = f					pr1(z)) . Стало быть,
(см. §	1.1 Im(f)	есть единственное множество, для		которого:
	)			(	)
1) f(x) Im(f) x Dom(f);
2) y Im(f) x Dom(f) : y = f(x).					2

Введем теперь понятие обобщенного декартова произведения: если h —
множественнозначная функция и		A	P	(Dom( ))	,	то полагаем
∏		A		h
					x A};
x A h(x) =							(1.2.19)
	{f (S Im(h) S) f(x) h(x)

содержательно (1.2.19) означает произведение всех множеств h(x), x A. Заметим теперь, что для всяких множеств X, Y и функции f P(Y )X имеем свойство: f — множественнозначная функция, к которой, следовательно, применимо (1.2.19). При вышеупомянутых условиях на выбор X, Y

и f имеем в силу (1.1.21) и (1.2.19), в частности, что

∏	{g				g(x) f(x) x X	}=
x X f(x) =		(S Im(f) S)X
= {g Y			X			(1.2.20)
				| g(x) f(x) x X}.

В (1.2.20) мы учли (1.1.35), а также то обстоятельство, что для всякой функции g Y X

(g(x) f(x)
	x X)= (g (S Im(f) S)X ).

Важно заметить, что определением нужной нам операции является (1.2.19), а (1.2.20) реализует свойства ранее введенного объекта (1.2.19) в частном

32

случае. Уместно привести также «индексную» версию данного следствия:

если X и Y — множества, (Ax)x X P(Y )X , то (см. (1.2.20))

∏

Ax = {g Y X | g(x) Ax x X}.

(1.2.21)

x X

С (1.2.20), (1.2.21) связана одна очень важная аксиома теории множеств, которая не всеми математиками воспринимается однозначно. Речь идет об аксиоме выбора, которую формулируем здесь в форме Рассела (аксиома мультипликативности): постулируем в дальнейшем для всяких множеств

X, X ≠ , и Y, а также для всякой функции (Ax)x X P′(Y )X , что

∏

Ax ̸= .

(1.2.22)

x X

Итак, если при условиях, определяющих (1.2.21), Ax ≠ при всяком выборе x X, то (согласно (1.2.22)) само множество (1.2.21), т. е. обобщенное декартово произведение всех множеств Ax, x X, непусто.

Отображение (Ax)x X , обозначаемое также в виде

x 7−→Ax : X −→ P(Y )

и используемое в (1.2.21), часто называют многозначным отображением или мультифункцией, а элементы (1.2.21) — селекторами упомянутой мультифункции.

§1.3. Вещественные числа (краткие сведения)

Внастоящем изложении мы ограничиваемся совсем краткими замечаниями о вещественных и, в частности, натуральных числах, придерживаясь

схемы [27, § 2], которая, в свою очередь, допускает некоторую аналогию с [11]. Мы не занимаемся вопросами построения натуральных и вещественных чисел, а (по сути дела) систематизируем некоторые нужные в дальнейшем свойства, действуя в духе § § 1.1, 1.2.

Всюду в дальнейшем полагаем, что R есть def множество всех вещественных чисел (вещественная прямая), R ≠ . Полагаем, что каждое вещественное число ξ R не является множеством; данное соглашение используется только во избежании двусмысленности в традиционных обозначениях.

Если X — множество, то RX есть очевидно множество всех вещественнозначных (в/з) функций на X, именуемых также функционалами на X.

33

Если x R и y R, то x · y R и x + y R — суть произведение и сумма чисел x, y. Используем также традиционное соглашение

xy = x · y x R y R. Применение точки в обозначениях, содержащих произведение, мотивируется желанием исключить какую-либо двусмысленность в традиционных обозначениях. В виде

(x, y) −7→ xy : R × R −→ R,

(x, y) −7→ x + y : R × R −→ R

имеем два отображения, свойства которых полагаем известными (см., в частности, [11]). Впрочем, некоторые нужные свойства напомним. Так, в частности, справедливо свойство коммутативности: при x R и y R

(xy = yx) & (x + y = y + x).

Если x R, y R и z R, то справедливы следующие равенства

( ) ( ) ( )

(xy)·z = x·(yz) & (x+y)+z = x+(y+z) & x·(y+z) = (xy)+(xz) .

Существует единственное число 0 R (число нуль), для которого

x + 0 = 0 + x = x x R.

Кроме того, существует единственное число 1 R\{0} (единица) такое, что

1x = x1 = x x R.

Далее, напомним свойство: если x R, то существует единственное число −x R, для которого

x + (−x) = (−x) + x = 0;

если u R и v R, то, как обычно, полагаем

u − v = u + (−v)

(разумеется, u − v R). Полагаем, как обычно, что x R y R z R

x + y + z = (x + y) + z.

Конечно же x + y + z = x + (y + z) x R y R z R. Следовательно, имеем

x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z)

34

при всяком выборе x R, y R и z R. Также полагаем известным, что для каждого числа x R \ {0} существует единственное число

x1 R,

для которого справедлива следующая цепочка равенств

x · x1 = x1 · x = 1.

Если же p R и q R \ {0}, то определено частное

	p		1	R.
		= p ·
	q		q
Считаем известным свойство: если x R и y R, то
(xy = 0) ((x = 0) (y = 0)).					(1.3.1)

Мы используем в качестве 6 обычный порядок на множестве R всех вещественных чисел: если x R и y R, то x 6 y означает, что число x меньше или равно y. Кроме того, как обычно, для всяких значений x R и y R

def ( 6 )

(x < y) (x y) & (x ≠ y) .

Полагаем известным, что 0 < 1, а также то, что x R y R

(x 6 y) (y 6 x).

Из последнего свойства легко выводятся следствия: при всяком выборе x R и y R непременно

(x 6 y) (y < x)

и, кроме того,

(x < y) (y 6 x).

Постулируем свойство согласованности 6 и операции сложения: x R

y R

(x 6 y) = (x + z 6 y + z z R).

Для обозначения промежутков в R используем только квадратные скобки: при a R и b R

6

]a, b] = {ξ R | (a < ξ) & (ξ b)},

35

6

[a, b[ = {ξ R | (a ξ) & (ξ < b)},

6 6

[a, b] = {ξ R | (a ξ) & (ξ b)},

]a, b[ = {ξ R | (a < ξ) & (ξ < b)}.

Тем самым определены конечные промежутки в R. Кроме того, имеется четыре типа бесконечных промежутков: при c R

		[c, ∞[ = {ξ R | c 6 ξ}, ]c, ∞[ = {ξ R | c < ξ},
] − ∞, c] = {ξ R | ξ 6 c}, ] − ∞, c[ = {ξ R | ξ < c}.
Считаем известным, что xy [ 0, ∞[			x [ 0, ∞[ y [ 0, ∞[. Разумеется,
x R y R z R			)
(	(	) (		)= (x < z).
		(x 6 y) & (y < z) (x < y) & (y 6 z)

Из определения чисел 0 и 1 легко следует, что при x R непременно (−1)x = (−1) · x = −x и, кроме того, −(−x) = x. Ясно также, что a

R b [a, ∞[ c [ 0, ∞[

ac 6 bc.

Если же a ]0, ∞[ и b ]0, ∞[, то ab ]0, ∞[. При c ]0, ∞[ имеем включение −c ]−∞, 0[. В связи с последним замечанием отметим общее свойство: если x R и y R, то

(x < y) = (x + z < y + z z R).

В числе полезных свойств вещественных чисел отметим также, что для

всяких x R и y R

( ) ( )

(x 6 y) (y − x [ 0, ∞[) & (x < y) (y − x ]0, ∞[) .

Легко видеть, что справедливо свойство:
1	]0, ∞[ c ]0, ∞[.	(1.3.2)
c

Мы учитываем здесь тот факт, что ab ] −∞, 0[ a ]0, ∞[ b ] −∞, 0[. Если p ]0, ∞[ и q ]p, ∞[, то

1q < p1 .

36

( )))

(E [ y, ∞[) = y 6 inf(E)

Введем в рассмотрение семейство BR↓ (семейство BR↑ ) всех множеств E P′(R), для которых

c R : E [c, ∞[	( c R : E ] − ∞, c]).
Считаем известным, что E BR↑	!x R :

(E ] − ∞, x])& ( y R ((E ] − ∞, y]) = (x 6 y))).

Иными словами, непустое ограниченное сверху п/м R обладает точной верхней гранью. Если E BR↑ , то sup(E) R есть def такое число (точная верхняя грань E), что

(E ] − ∞, sup(E) ])& ( y R	(			)	).
	(E ] − ∞, y]) = (sup(E) 6 y)
Как следствие имеем, что E BR↓	!x R :	)	).
	(
(E [x, ∞[)& ( y R (E [y, ∞[) = (y 6 x)

Следовательно, каждое непустое ограниченное снизу п/м R обладает точной нижней гранью. Вводим для нее традиционное обозначение: если E

BR↓ , то inf(E) R есть def такое число, что

( ) ( (

E [ inf(E), ∞[ & y R .

Разумеется, при x R и y R имеем {x; y} BR↓ ∩ BR↑ ; следовательно,

определены значения sup({x; y}) R и inf({x; y}) R, причем

( ) ( ) sup({x; y}) {x; y} & inf({x; y}) {x; y} .

Разумеется, | x| = sup({x; −x}) [ 0, ∞[ x R.
Полагаем, что
	N = {1; 2; . . .} (натуральный ряд): N P′([1, ∞[) и при
этом
(1 N ) & (k + 1 N k N ) & ( ]n, n + 1[ ∩ N = n N ) &
	& ( x R N N : x 6 N).	(1.3.3)

Ясно, что P′(N ) BR↓ . Стало быть, inf(H) R H P′(N ). Полагаем

( )

6 6

p, q = {i N | (p i) & (i q)} p N q N &

37

&	(−−∞→	= {	N |		6		}		N )
	n,	i		n		i		n	.

Ясно, что 1, n = {i N | i 6 n} n N . Для числа 2 = 1 + 1 N имеем

свойство		1				−−→
k				k				.
	−		N			2,	∞

С учетом (1.3.3) имеем также следующее свойство: inf(E) E E P′(N ). Из этого свойства следует принцип математической индукции: E

P′(N )

((1 E) & (k + 1 E k E))= (E = N ).

(1.3.4)

В дальнейшем полезна также следующая модификация данного принципа:

если n		и E		′(−−→) то
	N		P	n,	∞	,
		((n E) & (k + 1 E k E))= (E =					−−∞→)	.	(1.3.5)
							n,

Из (1.3.4) вытекает, что при p N и q N имеют место включения p + q N и p q N . Отметим также очевидные следствия (1.3.5): если

(ai)i N RN , то

(am 6 ak

−−−→)

(aj 6 aj+1

j

) =

m

k

N

N

m,

∞

и, кроме того,

(ak 6 am

−−−→)

(aj+1 6 aj

j

) =

m

k

.

N

N

m,

∞

Если

N и

N

то

(

) =

(

−−−−−−→

m

n

,

m < n

n

m + 1,

∞

).

Вопросы сходимости, полнота вещественной прямой. Традиционным образом определяем сходимость последовательностей в R : если (ξi)i N RN (т. е. (ξi)i N есть последовательность вещественных чисел)

и ξ R, то			)		(				)
(		ξ		def		: ξk ξ < ε	k	−−−→
(ξi)i					ε ]0, [ m
	N −→ ∞ N | − |							∞
								(1.3.6)

Последовательность (ξi)i N , удовлетворяющую утверждению в правой части (1.3.6), называют сходящейся. Тогда

	(1.3.7)
(LIM)[R] = {(xi)i N RN | x R : (xi)i N −→ x}

есть множество всех сходящихся в/з последовательностей. Последовательность (ξi)i N RN называют фундаментальной (или по-

следовательностью Коши), если			−−−→				−−−→
ε ]0, [ m	: ξp ξq < ε	p			q				.
∞ N | − |			m,	∞			m,	∞

В этой связи введем в рассмотрение множество

38

RN | ε ]0, ∞[ m N :

(FUND)[R] = {(xi)i N

xp

xq

< ε

p

−−−→

q

−−−→

.

(1.3.8)

|

− |

m,

∞

m,

∞}

Из определения и простейших свойств модуля легко извлекается неравенство треугольника

| x + y| 6 | x| + | y| x R y R.

С учетом этого неравенства из (1.3.6) – (1.3.8) легко извлекается очевидное

вложение	(1.3.9)
(LIM)[R] (FUND)[R].

На самом деле здесь имеет место равенство, но мы отметим это позднее, после перечисления целого ряда простых, но полезных свойств. Так, в част-

ности, из (1.3.6) легко следует, что (αi)i N RN α R

( ) (( )

(αi)i N −→ α = (aαi)i N −→ aα a R &

)

& (αi + ξ)i N −→ α + ξ ξ R .

простейших свойств операции взятия модуля:
Отметим теперь ряд (	)

( ) ( )

| x| = | − x| x R & | x| = x x [ 0, ∞[ &

( )

& | αβ| = | α| · | β| α R β R .

С учетом этих положений устанавливается следующее свойство сходящихся в/з последовательностей. Итак, (αi)i N RN (βi)i N RN α

R β R

(( ) ( )) ( )

(αi)i N −→ α & (βi)i N −→ β = (αiβi)i N −→ αβ .

Кроме того, с учетом (1.3.7) и неравенства треугольника имеем, что

(xi)i N (LIM)[R] !x R : (xi)i N −→ x.

(1.3.10)

Существенная часть (1.3.10) состоит в утверждении: любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Напомним, что для каждого числа из R \ {0} определен элемент R (т. е. вещественное число), обратный по умножению. Если же α R \ {0} и β R \ {0}, то αβ R \ {0}; и, следовательно, определено число

αβ1 R;

39