книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

10	ВВЕДЕНИЕ	[Гл. !
Т е о р е м а	1. Пусть
	х )	(3)

— дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что функция f(t, х ) задана на некотором открытом множестве Г плоскости Р переменных t, х. Относительно функции / будем предполагать,

что она сама и ее частная производная			являются	непре­
рывными функциями на всем открытом		множестве Г. Теорема
утверждает, что:
1)	для всякой точки (/0, лг0) множества		Г найдется решение
х = ?(/) уравнения (3), удовлетворяющее условию
	<?((<>) = х 0;			(4)
2)	если два решения x = if{t) и x =	i(()	уравнения (3)	совпа­
дают	хот я бы для одного значения t =	t0,	т. е. если

?(*о)=Х(*о).

то решения эти тождественно равны для всех тех значений переменного t, для которых они оба определены.

Числа

/0, х 0

называются

начальными

значениями

для решения

х — <р (0.

а соотношение (4) — начальным условием для этого

реше­

ния.

Говорят также, что решение лг= ср(/)

удовлетворяет начально­

му условию (4) или же что

оно

имеет

начальные

значения

t0, х 0.

Утверждение, что решение x = y(t) удовлетворяет

начальному

усло­

вию

(4)

(или

имеет

начальные значения

£0,

лг0),

предполагает,

что

интервал

rl < ^t< ^ri определения

решения

л: =

<р(<) содержит

точку ta.

образом, теорема

1

утверждает,

что

координаты

любой

Таким

точки (^о,

*„)

множества Г являются начальными

значениями для не­

которого

решения уравнения (3) и что два решения с общими началь­

ными значениями совпадают.

Геометрическое содержание

теоремы

1 заключается в том, что

через каждую

точку (ta, jt0) множества Г проходит одна и толь­

ко одна интегральная кривая уравнения (3) (см. рис. 1).

Говоря, что

через

каждую

точку (^в,

дг0) множества Г проходит

«только одна» интегральная кривая, мы допускаем некоторую неточ­

ность. В	самом деле, решением			уравнения (3) называется функция
X —	заданная	на	вполне	определенном интервале			r1< ^ < C ,V
Наряду с этой функцией может существовать функция дг=								ф(0,
также удовлетворяющая			уравнению (3)		и	имеющая те же	начальные
вначения	t0, лс0, но	заданная на		другом		интервале		Вто­
рая часть теоремы 1 утверждает				лишь,	что функции <р (t)		и ф(£)	сов­
падают там, где они обе определены,					но вовсе не утверждает,			что
интервалы их определения				и Si< ^t< ^st одинаковы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ		УРАВНЕНИЕ		ПЕРВОГО ПОРЯДКА		11
Если один из интервалов,		например Si< ^t< ^sit полностью содер­
жит другой,	то мы будем говорить,		что	решение х = ф(£),		заданное
на интервале	s{<^t <^в.г, является		продолжением		решения	лг= ср(0-
Естественно	сосредоточить все внимание			на тех	решениях,	которые

нельзя продолжить ни вправо, ни влево. Такие решения мы будем называть непродолжаемыми. Нетрудно доказать (но это будет сде­ лано позднее, см. § 22), что каждое решение может быть продол­

жено до непродолжаемого и при­
том единственным способом. Если
теперь подразумевать под интег­
ральной кривой график непродолжа­
емого		решения,		то	утверждение
о	том,	что	через		каждую	точ­
ку	(*0,	х л)	проходит		единственная
интегральная			кривая,		становится
точным.
	Каждое решение д; = ср(£)					урав­
нения		(3)	мы	интерпретировали
геометрически в виде графика функ­
ции (р(<). Дадим теперь геометри­
ческую		интерпретацию самого				уравнения	(3). Через	каждую точку
(t,	х) множества			Г проведем прямую 10х			с угловым	коэффициентом

f(t, х). Мы получаем поле направлений, соответствующее уравнению (3), что и дает геометрическую интерпретацию этого уравнения.

Связь между геометрической интерпретацией уравнения и гео­ метрической интерпретацией его решений заключается в том (рис. 2),

что	любая	интегральная кривая х = <f (t) в каждой своей
точке (t, <р (t)) касается			прямой lt, f (/).
			П р и м е р ы
1.	Для	того чтобы	проиллюстрировать значение теоремы 1

(в данном случае второй ее части), решим дифференциальное ура­

внение				х = а х,			(5)
где	а — действительное число. Здесь
				/ (t, х) = ах,
так	что	функция / в		действительности	зависит	лишь от	перемен­
ного х.		Множество точек, на котором определена				функция /, в дан­
ном	случае		совпадает	со всей плоскостью Р.		Как сама	функция
/ (t,x) =		a x,	так и ее	производная	— а являются непрерыв­

ными функциями переменных t и х во всей плоскости Р. Таким образом, теорема 1 к уравнению (5) применима. Непосредственной

12

ВВЕДЕНИЕ

[Гл. I

подстановкой в

уравнение

(5)

проверяется,

что

каждая

функция

х = се*1,

(6)

где

с — произвольное

действительное

число,

является

решением

уравнения (5). Решение это

непродолжаемо,

так

как

оно

задано

уже

на всей

прямой — oo< ^t< ^oo.

Покажем,

что,

придавая

все­

возможные

значения числу

с,

мы получим

в с е

решения

уравнения

(5).

Пусть

x =

y{t) — произвольное

решение

этого

уравнения. По­

кажем,

что

при

надлежащем

выборе

числа

с

мы имеем y(t) — ce%t.

Пусть

t0— некоторая

точка

интервала

существования

решения

ср (t)

и

х 0 =» <р (^о)-

Положим

с — х ^ - ^ о .

Тогда

решения

x — y(t)

и х =

сел( =

уравнения (5)

имеют

одинаковые

начальные

значения (t0, лг„) и потому в силу второй части теоремы 1

совпадают. Таким

образом, формула (6) исчерпывает совокупность

всех

решений

диф­

ференциального

уравнения (5).

2.

Дадим математическое

описание

п р о ц е с с а

р а с п а д а

ра­

диоактивного вещества. Количество вещества,

еще

не

распавшегося

к

моменту

времени t,

обозначим через

лг(0-

Из

физических

сообра­

жений следует, что (если нет условий для возникновения цепной

реакции) скорость распада, т. е.					производная x(t),			пропорциональна
имеющемуся количеству				нераспавшегося			радиоактивного		вещества:
				X (t) =	— Р X (t).
Здесь р — постоянный			положительный			коэффициент		пропорциональ­
ности, зависящий от свойств радиоактивного вещества,									а знак	ми­
нус в	правой	части	означает,		что	х (t)	убывает.	Мы	видим,	что
функция	х (t)	удовлетворяет простейшему					дифференциальному			ура­
внению,	рассмотренному			в примере 1,		так	что

х (t) = се~$с.

Для определения константы с достаточно указать какие-либо

начальные значения. Если, например,	известно,	что	в	момент времени
< = 0 имелось количество вещества	х 0, то с =	х 0,	и	мы имеем:

х (() = х 0е~?‘.

Скорость распада выражается эдесь величиной р размерности \/сек. Часто вместо величины р скорость распада характеризуют так на­ зываемым периодом полураспада, т. е. временем, за которое распа­ дается половина имеющегося запаса вещества. Обозначим период полураспада через Г и установим связь между величинами р и Г. Мы имеем:

откуда

2.

5 21	НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ	13
	§ 2. Некоторые элементарные методы интегрирования
	Главной задачей, возникающей перед нами, когда мы имеем дело

с дифференциальным уравнением, является задача отыскания его решений. В теории дифференциальных уравнений, так же как в алгебре, вопрос о том, что значит найти решение уравнения, можно понимать по-разному. В алгебре первоначально стремились найти общую формулу с применением радикалов для решения уравнений

каждой степени. Таковы		были: формула для	решения квадратного
уравнения,	формула Кардана для решения кубического			уравнения
и формула	Феррари для	решения уравнения	четвертой	степени.

Позже было установлено, что для уравнений выше четвертой степени общей формулы решения в радикалах не существует. Осталась возможность приближенного решения уравнений с числовыми коэф­ фициентами, а также возможность исследования зависимости корней уравнений от его коэффициентов. Примерно такова же была эволю­ ция понятия решения в теории дифференциальных уравнений. Перво­ начально стремились решать, или, как говорят, «интегрировать диф­ ференциальные уравнения в квадратурах», т. е. пытались записать решение при помощи элементарных функций и интегралов от них. Позже, когда выяснилось, что решение в этом смысле существует лишь для очень немногих типов уравнений, центр тяжести теории был перенесен на изучение общих закономерностей поведения решений.

В	этом параграфе		будут	приведены		методы	интегрирования
в квадратурах		некоторых	простейших		уравнений		первого	порядка.
А)	( Ур а в н е н и е в		п о л н ы х		д и ф ф е р е н ц и а л а х ) .			Решим
уравнение			_	g(t,
								( 1)
			—	h (t, х) '
правая	часть	которого	представлена		в	виде отношения		функций
g (t,x )	и h{t,x). Предполагается,			что	функции g (t,x ) и h (t,x ) опре­

делены и непрерывны на некотором открытом множестве Г плоскости Р переменных t, х, причем знаменатель h (t, л:) не обращается в нуль

пи в	одной точке		этого	множества,			а выражение	h (t,		x )d x —
— g(t,	x )d t	представляет собой			полный		дифференциал	на всем			мно­
жестве ‘ Г.		Последнее	означает,		что	существует функция				F (t, х),
определенная на множестве Г и удовлетворяющая на всем									этом		мно­
жестве	условиям
		d- ^ l = h	( t ,	X),	^ L	^ l	= - g ( t , X).				(2)
Уравнение (1) условимся символически записывать								в	виде		ура­
внения		hit, x )d x — git,				x )d t — О,

14 ВВЕДЕНИЕ [Гл I

левая часть которого является полным дифференциалом. Оказывается,

	что для каждого решения х =				ср(^) уравнения (1) справедливо тождество
				F(t, <p(t)) =			const.
	Обратно,	каждая	функция х — ср (t),				заданная		на некотором интер­
	вале и определяемая			как неявная функция				из уравнения
					F (I, х) =		с		(3)
	(с произвольной		константой		с), является			решением дифференциаль­
	ного уравнения (1).
	Докажем предложение А). Пусть x =							y(t)	— решение дифферен­
	циального	уравнения		(1),	определенное			на	интервале Г!<[Д<^г4.
	Тогда для	всех точек		этого интервала мы имеем:
				Ф(0		А(*,т(0)
	откуда получаем:
			h(t , <р(0Ж 9— ff(#, ?(*))=						о.

Левая часть этого равенства, в силу (2), представляет собой полную производную по t функции F{t, <р(£)), так что

			± F { t ,		<р(0) = 0
на всем интервале		ri< ^ < ^ r* .		В	силу	известной теоремы анализа,
функция F(t,	<р (t))	есть	константа		на всем этом интервале.
Обратно,	пусть	х =	<р(^) есть		решение уравнения (3), рассматри­
ваемое на некотором интервале,				так что
			F(t,	<р (<)) =		*.

Дифференцируя это тождество по t, мы в силу (2), получаем:

hit,	?(О Ж 9 -г (* ,< р (О ) = 0.
откуда видно, что x =	'f it) есть решение дифференциального уравне­
ния (1).

Итак, предложение А) доказано.

Результату, сформулированному в предложении А), можно дать следующее геометрическое истолкование. Каждая интегральная кри­ вая дифференциального уравнения (1) расположена целиком на неко­ торой линии уровня функции Fit, х), т. е определяется уравне­ нием (3). Обратно, каждая связная наешь линии уровня im. е. гра­ фик решения уравнения (3), рассматриваемого на некотором и н ­

т е р в а л е	ri< ^t < V 2) представляет	собой интегральную кривую.
Так как линия уровня функции Fit,		х) может состоять из н е с ­
к о л ь к и х	отдельных кусков, то в этом случае целая линия уровня не

S 21	НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ		15
является	одной интегральной кривой, а	распадается на несколько
интегральных кривых. Иными словами,		одна константа	с может,

в силу неявного уравнения (3), определять несколько (и даже беско­

нечно много, см. пример 3)			различных непродолжаемых решений.
Б) ( Ли н е й н ые у р а в не ния ) .					Решим уравнение
		х =		a (t) х —j—b (t),						(4)
где а (0 и	b(t) определены		и непрерывны				на	некотором	интервале
r,< ^ i< V 4	(случаи	Г\ = — оо		и r4 = -j-oo			не	исключаются). Таким
образом, открытое		множество		Г в плоскости Р определяется						усло­
виями ^ < ^ < ^ 2.		налагаемыми на t			при	произвольном х.			Это	мно­
жество представляет собой полосу,					если гх и г4 конечны;				полупло­
скость, если конечна только				одна	из	величин		ru г4, и	плоскость,

если бесконечны обе величины rt, г4. Правая часть уравнения (4) непре­

рывна вместе

со

своей

частной производной

по х на всем

множестве

Г, так что для

уравнения (4)

выполнены

условия

теоремы

1.

Пусть

t0— некоторая точка интервала r\< ^ t< ^ г4. Положим:

A (t) — ^ a (t) dx.

(6)

Функция

A (t)

определена

на

всем интервале г, <^t <^г4. Оказывается,

что

совокупность всех решений уравнения (4)

записывается

формулой

(6)

где дг0 — произвольная константа. Каждое

из

этих

решений

опреде­

лено на

всем интервале

T i< ^ < V 4

и потому

непродолжаемо

(так

как

за пределами этого интервала не определена

правая часть уравне­

ния

(4)).

Для доказательства предложения Б) заметим прежде всего, что

функция л:, заданная соотношением (6), является решением

уравнения

(4). Это

непосредственно проверяется путем подстановки.

Докажем,

чго

формула

(6)

содержит

все

решения.

Пусть

xt=<f(t) — некоторое

решение уравнения

(4),

определенное

на

ин­

тервале

Sj

t <[ s4.

Этот

интервал

должен

содержаться в

интервале

rt <^t < V 4, так

как

правая

часть

уравнения

(4)

определена

только

на

этом

последнем интервале. Пусть

т0,

£0 — начальные значения

ре­

шения х = ср (t).

Докажем,

что можно так подобрать число х 9 в фор­

муле (6), чтобы определяемое этой формулой решение имело своими начальными значениями т0, £0, т. е. удовлетворяло условию

(7)

16			ВВЕДЕНИЕ	[Гл I
Этим	будет доказано	(см. теорему 1), что решение x = y(t)		совпа­
дает с	решением (6) на	всем	интервале s ,< ^ < ^ s 4.
Соотношение (7) является уравнением первой степени относи­
тельно	неизвестной величины		х 0, причем коэффициент ел (Хо)	при х №

отличен от нуля. Следовательно, уравнение (7) разрешимо относи­ тельно неизвестной величины х 0.

Итак, предложение Б) доказано.

Для сравнения приведем другой (принятый в большинстве учебни­ ков) вывод формулы (6), облегчающий ее запоминание. Прежде всего

рассматривается о д н о р о д н о е		уравнение
	S =	a(t)y.	(8)
Это — уравнение	в полных дифференциалах (см. А)). В самом де­
ле, символически его	можно записать в виде
	^ - — a(t)dt =		0.

Соответствующая функция F(t, у) задается формулой

F(t, у) — \п\у\ — A(t),

и потому, в силу А), решения однородного уравнения (8) определя­ ются как неявные функции из соотношения

In Lvl — А (0 = Cl-

Отсюда получаем [у| = еЛ(/)+с‘ или,	иначе,
У = «	А (О	'
	,	(9)

где с может принимать любые действительные значения. (Этот вывод содержит неточность, поскольку функция h(t, у ) = у может обра­ щаться в нуль, так что условие 1) предложения А) не выполнено; неточность легко может быть устранена, но мы этого делать не бу­ дем, так как формула (9) является частным случаем формулы (6), которая выше была полностью доказана.)

Для получения с помощью формулы (9) решения н е о д н о р о д ­ н о г о уравнения (4) применяется так называемый метод вариации постоянной. Именно, решение уравнения (4) ищется в виде (9), где с уже не константа, а некоторая неизвестная функция переменного t. Подставляя это предполагаемое решение в уравнение (4), получаем:

сет - f са (t) ет = a (t) ceA{t) -f- b (f)

или, что то же,

§ 2]

НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

17

Отсюда находим:

t

с = $ е~т b(t)dt = x t + \ e ~л(т) Ь (т) dx,

<9

где лг0 — константа интегрирования.

		П р и м е р ы
1. Решим уравнение
		■ * = /(0 £(■*).
называемое уравнением с разделяющимися			переменными. Будем
предполагать, что функция f(t) определена			и непрерывна на интер­
вале rt	t <[ г2,	а функция g(x) определена,	непрерывна и не об­
ращается	в нуль	на интервале q i< ^x <^qt. Рассматриваемое уравне­

ние есть уравнение в полных дифференциалах. Именно, оно может быть записано символически в виде:

- 4 r — fQ )d t = 0.
g ( х )	w
Соответствующая функция F(t, х)	задается формулой^'

F<‘-*4 it-W "'-

•*■ 0 tа

Здесь лг0 принадлежит интервалу

qi< ^x< ^q it а х

изменяется

на

том же интервале; t0 принадлежит

интервалу

r i < ^ < V 4,

a

t изменя­

ется на том же интервале. В силу предложения

А),

все

решения

нашего уравнения

получаются как

неявные функции из соотношения

*о

tа

2. Решим уравнение

в

котором

правая

часть

зависит

лишь

от

отношения

переменных

х

и t. Уравнение это называется однородным.

Будем

предполагать, что функция h (у) определена

и непрерывна

на интервале а, < ^ у < ^ а 4

и что на этом

интервале

функция

h(y) — у

не обращается в нуль. Наше уравнение решается

путем

замены

пе­

ременных. Именно,

вместо неизвестной функции х мы введем неизвест­

ную функцию у, положив х — y t.

Производя

эту

подстановку,

мы

|

Гос. щбЛ‘

няп

18	ВВЕДЕНИЕ	[Гл. 1
получаем для новой неизвестной функции у уравнение
j/t-\-y — h{y)
или, что то же,	h (у) — У .
л
J	t
Полученное уравнение с	разделяющимися переменными	решается
по способу, указанному в примере 1.
3. Решим уравнение	х — х* cos t	(10)
с разделяющимися переменными. Множеством Г для него		является
вся плоскость (t, х). При	и при лг<^0 уравнение это можно ре­

шать по способу, указанному в примере 1. Для каждой из этих полуплоскостей мы имеем:

S£=$cosi<rt

или, иначе,	• *
1
------ =	sin ^ — с.
х
Таким образом, получаем:

Кроме решений, описываемых этой формулой, мы имеем очевидное решение

.X = 0.

(12)

Покажем, что формулы (11) и (12) охватывают совокупность всех решений уравнения (10). Пусть (<0, х 0) — произвольные начальные вначения. Если jcn==0, то решение (12) имеет эти начальные значения. Если же х 0 Ф 0, то указанные начальные значения имеет решение (11) при

с — sin

-j- — •

Решение

(12)

определено

на

интервале ( — оо,

+ о о ) и

потому

не-

продолжаемо. Точно так же

при

| с| ^>1

формула

(11)

определяет

одно непродолжаемое

решение,

заданное

на

интервале (— оо, -j- оо).

При фиксированной константе с, удовлетворяющей неравенству | с j ^

1,

формула

(11)

задает

не

одно

решение, а

б е с к о н е ч н о е

мно ­

ж е с т в о

р е ше н и й .

Каждое

отдельное решение в этом случае

определено на

интервале

rt < ^t< ^rb где

rt и г, — два соседних

нуля

функции

sin t — с (рис. 3).

4.

Покажем, что если правая часть уравнения не имеет непр

рывной

производной,

то

вторая

часть

теоремы

1

(единственность)

§21	НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ			19
может не иметь места. Рассмотрим			уравнение
			2_	(13)
			"з ,
	х = Зх
Правая	часть уравнения (13)	определена и непрерывна для		всех
		_	_i_
значений	х, но ее производная	2х	з
			терпит разрыв при * = 0. Если

принять	за	Г множество	всех точек	плоскости Р, удовлетворяющих
неравенству		д г ^ О ,-то	к уравнению (13)		применима теорема 1, и в
каждой	из	полуплоскостей		х < ^0	уравнение (13) можно