8.6. Волновое уравнение

Продифференцируем дважды по каждой переменной уравнение (8.6):

	(8.7)

Сложим последние три уравнения и получим Из (8.7) следуетТогда

(8.8)

Это уравнение носит название волнового уравнения. Всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению описывает некоторую волну.

8.7. Энергия волны

Найдем изменение энергии малого объема dV упругой среды, связанное с распространением в среде плоской волны, которая задана уравнением

(8.9)

Ввиду малости объема dV можно считать, что все находящиеся в нем частицы среда колеблются в одной фазе, так что их скорости одинаковы и равны

Поэтому кинетическая энергия объема среды dV, связанная с колебательным движением, равна

где ρ - плотность среды. Из (8.9) следует Поэтому

(8.10)

Подсчитывая работу деформации объема dV среды при волновом движении (деформация сдвига в случае поперечной волны и деформации объемного сжатия в случае продольной волны), можно показать, что потенциальная энергия dWп объема dV среды равна его кинетической энергии. Полная механическая энергия dW колебательного движения элементарного объема dV упругой среды равна сумме его кинетической и потенциальной энергии.

(8.11)

8.8. Объемная плотность энергии волны

Объемная плотность энергии волны в упругой среде (w), определяется следующим образом:

где  - полная механическая энергия волны в объеме  . Из (8.11) следует, что объемная плотность энергии плоских синусоидальных волн

Итак, область пространства, участвующая в волновом процессе, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волны, следовательно, волна переносит энергию.

8.9. Плотность потока энергии. Вектор Умова

Численное значение вектора плотности потока энергии определяется следующим образом:

(8.12)

где  - энергия, переносимая за время  через площадку  , перпендикулярную к направлению переноса энергии. Другими словами, этот вектор численно равен мощности передаваемой через единичную нормальную к направлению распространения энергии площадку. Направление вектора  совпадает с направлением распространения энергии волны.

Через площадку  за время  будет перенесена энергия  заключенная в цилиндре с основанием  и высотой  (v - фазовая скорость волны, рис.8.4). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малости  и  ) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то  можно найти как произведение плотности энергииw на объем цилиндра,

равный  v  , тогда Подставив это выражение в (8.12), получим

Рассматривая фазовую скорость v как вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии), можно написать

(8.13)

Эта величина носит название вектора плотности потока энергии. Вектор плотности потока энергии был впервые введен определен русским ученым Н.А. Умовым и называется вектором Умова.

Вектор Умова, как и плотность энергии w различен в разных точках пространства. Среднее по времени значение плотности потока энергии равно: