6.4.1. Закон Ома. Закон Джоуля-Ленца.

Итак, рассмотрим закон Ома для однородного участка цепи в дифференциальной форме:

(6.33)

      - электропроводность,  - удельное электрическое сопротивление среды,  - объемная плотность тока,  - напряженность электрического поля. Вспомним, что величина  - плотность потока электрического заряда

(6.34)

     где  - вектор средней скорости направленного движения носителей заряда, в рассматриваемом случае - электронов. В отсутствие напряженности электрического поля величина обращается в нуль (хотя хаотическое тепловое движение электронов продолжает иметь место). Для случая  величина  и направлена противоположно полю. Эту скорость можно рассчитать следующим образом. Пусть t - время, прошедшее с момента последнего соударения электрона с рассеивающим центром. Мгновенная скорость  электрона в момент времени t равна:

(6.35)

     Из-за "хаотичности" начальной скорости  ее вклад в среднюю скорость частицы равен нулю, поэтому можно записать:

(6.36)

     поскольку среднее время движения электрона между соударениями равно . В этом случае получим:

(6.37)

     Заметим, что по Ланжевену из соотношения (6.36) следует выражение для "подвижности" электронов проводимости в металле:

(6.38)

     Если по экспериментальным данным для  оценить величину , она оказывается величиной порядка 10^-14 - 10^-15 с. Оценить длину свободного пробега можно соотношением

(6.39)

     а значение  можно получить из классического закона распределения энергии по степеням свободы

(6.40)

     где k - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура металла. Из зависимости (6.40) при комнатной температуре получаем , а .

      Значение величины l удивительно совпало с возможными значениями межатомных расстояний... Вроде бы теория Друде "правильно" описала механизм рассеяния электронов... На самом деле картина рассеяния имеет более сложную природу. И эксперимент не свидетельствует в пользу теории Друде: при достаточно низких температурах на тщательно приготовленных образцах можно получить , т.е. 10⁸ межатомных расстояний.

      Итак, если бы мы знали , то зависимость (6.37) решала бы проблему расчета величины . Более того, результаты теории Друде, не содержащие время релаксации , оказываются количественно верными.

Теория Друде объясняет физическую природу закона Джоуля-Ленца следующим образом. При каждом "соударении" с рассеивающим центром электрон передает этому центру энергию

     За единицу времени происходит  таких соударений. А если учесть, что в единице объема содержится n электронов, то получим, в единице объема кристаллической решетки металла за единицу времени выделяется энергия, равная

Полученное соотношение обосновывает дифференциальную форму закона Джоуля-Ленца.

6.4.2. Эффект Холла.

Для наших целей наибольший интерес представляют два случая: расчет электропроводности при наличии пространственно-однородного постоянного магнитного поля (эффект Холла) и при наличии пространственного однородного, но переменного во времени электрического поля.

Перед началом рассмотрения этих случаев обсудим уравнение второго закона Ньютона для среднего значения импульса электрона

(6.41)

     Смысл уравнения (6.41) состоит в следующем. В равновесных условиях величина  равна нулю (это основное условие хаотичности движения электронов), величина  - осредненная внешняя сила, действующая на электрон. Величина  является количественной мерой отклонения системы от состояния равновесия. Каждая устойчивая система стремится к состоянию равновесия со скоростью, пропорциональной (в нулевом приближении) величине этого отклонения. Таким образом, уравнение (6.41) представляет собой типичное уравнение релаксационного процесса.

      Пусть по проводнику вдоль оси х течет ток j_x при наличии магнитного поля , т.е. направленного вдоль оси z. Под действием силы Лоренца, действующей на каждую заряженную частицу, возникают компоненты напряженности электрического поля E_y и плотности j_y. Уравнение (6.41) для движения электронов в металле принимает вид

(6.42)

Для установившегося режима средний импульс электрона не зависит от времени, поэтому:

(6.43)

(6.44)

где

(6.45)

     Умножая уравнения (6.43) и (6.44) на выражение  и учитывая определение плотности тока

(6.46)

получаем

(6.47)

(6.48)

     гле 

     Поле Холла E_y определяется условием j_y=0. Из уравнения (6.48) при этом следует:

Следовательно, для коэффициента Холла

(6.49)

     результат (6.49) примечателен тем, что коэффициент Холла не зависит ни от каких параметров металла, кроме объемной плотности носителей заряда. Для многих металлов соотношение (6.49)имеет экспериментальное подтверждение, хотя в отдельных случаях расхождение довольно значительное.