2.4. Угловое ускорение

В случае неравномерного движения  не остается постоянной. Величина, характеризующая скорость изменения угловой скорости называется угловым ускорением и равна:

(2.5)

В случае вращения тела вокруг неподвижной оси изменение вектора обусловлено толькоизменением его численного значения. При этом вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в ту же сторону, что и при ускоренном вращениии при замедленномв обратном направлении. ( рис 2.3 а),б) )

2.5. Связь угловых и линейных величин

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой точки, будучи направлена по касательной к соответствующей окружности, непрерывно изменяет свое направление. Величина скорости  определяется скоростью вращения тела  и расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол(рис 2.4). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь, равный

Линейная скорость точки по определению.

(2.6)

Найдем линейные ускорения точек вращающегося тела. Нормальное ускорение:

подставляя значение скорости из (2.6), находим:

(2.7)

Тангенциальное ускорение

Воспользовавшись тем же отношением (2.6) получаем

(2.8)

Таким образом, как нормальное, так и, тангенциальное ускорения растут линейно с расстоянием точки от оси вращения.

3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) материальной точки имеет вид , где  – результирующая сила, действующая на материальную точку массы ,  – импульс материальной точки.

В случае  основной закон динамики принимает вид .

Центр масс системы материальных точек определяется по формуле , где  – масса всей системы,  – радиус-вектор точки с массой . В случае непрерывного распределения массы формула центра масс принимает вид .

Скорость центра масс системы . Закон движения центра масс , где  – результирующая внешних сил.

Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского) , где  – реактивная сила.

Закон Гука .

Сила трения скольжения .

Примеры решения задач

При решении задач по динамике материальной точки необходимо прежде всего выяснить, какие силы действуют на тела рассматриваемой механической системы и изобразить их на рисунке. Затем нужно выбрать систему отсчета, относительно которой рассматривается движение. Координатные оси системы целесообразно располагать так, чтобы проекции сил на эти оси определялись наиболее просто. Для каждого тела системы необходимо записать второй закон Ньютона в векторной форме и спроектировать его на оси выбранной системы координат. Иногда оказывается, что полученных динамических уравнений недостаточно для решения задачи (в случае движения системы тел). Тогда необходимо дополнить систему уравнений кинематическими условиями, обусловленными связями, существующими между телами. Рассмотрим конкретные примеры.

Задача 1. Частица массы  со скоростью  влетает в область действия тормозящей силы  под углом  к направлению этой силы и вылетает под углом β. Определить ширину l области действия тормозящей силы. Какой должна быть ширина области l₀, чтобы частица могла из нее вылететь?

Решение

Будем рассматривать движение частицы в проекциях на направление действия тормозящей силы и перпендикулярное к нему (рис. 1.2.1).

Рис. 1.2.1

В первом случае движение будет равнозамедленным, и его кинематические уравнения можно записать в виде

,                         (1.2.1)

Движение в перпендикулярном к вектору силы направлении будет равномерным с постоянной скоростью , и его уравнение примет вид

.

По условию через некоторое время вектор скорости образует с вектором силы угол β, откуда следует

.                            (1.2.2)

Из (1.2.2) находим время движения частицы в области действия тормозящей силы 

.

Согласно второму закону Ньютона , следовательно,

.                              (1.2.3)

Подставляя (1.2.3) в (1.2.1), после несложных преобразований находим ширину области действия тормозящей силы

.                               (1.2.4)

Предельно возможная ширина области действия силы может быть получена из (1.2.4), если положить  (в этот момент скорость частицы в направлении действия силы обращается в ноль). В результате получаем

.

Задача 2. Каковы должны быть модуль и направление минимальной силы , приложенной к бруску, лежащему на горизонтальном столе, чтобы сдвинуть его с места? Масса бруска , коэффициент трения между столом и бруском .