10. Основы молекулярно-кинетической теории газов. Введение

Задача молекулярно–кинетической теории – вывести все свойства вещества из его молекулярно-кинетической модели. Модель эта содержит представления о свойствах молекул вещества, их движении и взаимодействии. Представления, естественно, уточняются с развитием науки, поэтому уточняется и модель.

Основные положения этой модели следующие:

• газ состоит из молекул (мельчайших частиц, размеры которых ˜ 10^-10м.)

• молекулы газа находятся в непрерывном хаотическом движении.

• молекулы сталкиваются друг с другом. Столкновения бывают упругими (низкие температуры) и неупругими (высокие температуры)

• в промежутке между соударениями молекулы движутся прямолинейно

• молекулы на малых расстояниях отталкиваются, а на больших притягиваются друг к другу.

Следует заметить, что внутренняя структура самой молекулы описывается квантовой физикой. Включение в описание явлений внутреннего строения молекул, является дальнейшим уточнением модели.

10.1 Основное уравнение м.К.Т. Идеальных газов. Температура

Так принято называть выводимое из м.к.т. уравнение, определяющее давление газа. Важным здесь является выяснение молекулярно-кинетического понятия температуры. Для дальнейшего нам понадобится понятие концентрации молекул. Будем называть концентрацией n число молекул в единице объема.

(10.1)

Первая формула справедлива всегда, вторая – в случае, если концентрация всюду в объеме постоянна.

Через концентрацию можно выразить и давление газа  . Используя введенную ранее постоянную Больцмана запишем . Итак, получим

(10.2)

Необходимо вывести это же уравнение из молекулярно-кинетической теории, иными словами, найти давление газа на стенку. Давление – результат ударов молекул. Импульс, переданный всеми молекулами за секунду, – это и есть сила давления т.е. PS, где S – площадь стенки. Поскольку при каждом соударении молекул полный импульс сохраняется, для расчета давления не нужно учитывать соударения молекул между собой.

Рассмотрим молекулу (рис.10.1), движущуюся между стенками сосуда, расстояние между которыми L. При ударе о верхнюю стенку меняется только составляющая скорости  . Эта составляющая меняется на  .

Изменение импульса молекулы при ударе (т.е. передаваемый стенке импульс) равно δp=2mv_z . Это изменение импульса приходится на время  , протекающее между двумя ударами о верхнюю стенку, которое равно  .

Итак, средняя сила, действующая со стороны одной молекулы на стенку, равна

У разных молекул разные скорости, поэтому вместо  надо записать  , где i – номер молекулы. Полная сила со стороны всех молекул  . Для того чтобы найти давление, нужно эту силу разделить на площадь стенки S:

Запишем теперь просуммируем по всем N молекулам

Ввиду равноправия осей x,y,z при т.д.р. три суммы справа должны быть (при большом числе молекул) равны между собой, откуда

.

Введем понятие среднеквадратичной скорости (она называется еще тепловой скоростью v_i ). Для этого необходимо найти средний квадрат скорости. Он, очевидно, равен

(10.3)

Выражение (10.3) вполне аналогично выражению для средней арифметической скорости

(10.4)

только в (10.4) складываются абсолютные величины скоростей молекул, а в (10.3) – квадраты скоростей.

Среднеквадратичной, или тепловой скоростью называется корень квадратный из выражения (10.3):

(10.5)

Заметим, что  всегда больше средней арифметической скорости (10.4). Это легко проверить, подставляя вместо  любые (неравные) числа.

Возвращаясь к выводу уравнения м.к.т. газов, запишем, пользуясь уравнением (10.3):

.

Подставляя полученное выражение в выражение для P, получим

.

Наконец, учитывая, что  - концентрация, и замечая, что

есть средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, получим

(10.6)

Это и есть основное уравнение м.к.т. идеальных газов. Оно читается так: давление газа равно кинетической энергии поступательного движения молекул, заключенных в единице объема.

Сравнивая (10.6) с (10.2), получим очень важное равенство

(10.7)

Это выражение объясняет молекулярно-кинетический смысл понятия температуры.

Температура – это средняя кинетическая энергия движения молекул (выраженная в других единицах).

В этом определении очень важным является слово «средняя». Если изъять из газа наиболее медленные молекулы, полная кинетическая энергия всех молекул уменьшится, но температура повысится, так как увеличится средняя энергия.

Записывая

(10.8)

найдем среднеквадратичную скорость молекул

(10.9)

Эта скорость пропорциональна корню квадратному из температуры.

Можно записать (10.9) в виде

(10.10)

Для молекулы кислорода (μ=0,032 кг/моль) при Т=300К 483 м/с. Для молекулы водорода (μ=0,002 кг/моль) при этой же температуре скорость равна v_Т=1932 м/с, т. е. она больше, чем у молекулы кислорода, в 4 раза.

Весьма важным является то обстоятельство, что в условиях т. д. р., которые рассматриваются, средняя кинетическая энергия молекулы (10.8) не зависит от массы молекулы. Если мешать несколько газов, например Н₂, О₂ и газ с молекулами, в сотни раз более тяжелыми, чем молекулы водорода, то при условии, что смесь будет находиться в состоянии т. д. р., средняя кинетическая энергия молекул всех газов будет одинакова. Тяжелые молекулы будут двигаться с малыми скоростями, такими, чтобы их средняя кинетическая энергия как раз равнялась энергии легких молекул.

Средняя кинетическая энергия броуновых частиц в жидкости, несмотря на огромную (по сравнению с молекулами) массу этих частиц, такая же, как у молекул.

Можно рассматривать тяжелый и легкий газ как две системы, находящиеся в т. д. р. друг с другом. Термодинамическое равновесие предполагает равенство температур этих систем. Иначе тепло будет передаваться от более горячей системы к более холодной.