16. Энергия электрического поля

Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это на примере плоского конденсатора. Подстановка выражения для емкости в формулу для энергии конденсатора дает

Частное U / d равно напряженности поля в зазоре; произведение S·d представляет собой объем V, занимаемый полем. Следовательно, 

Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе при расстоянии dмного меньшем, чем линейные размеры обкладок), то заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью w. Тогда объемная плотность энергии электрического поля равна 

C учетом соотношения можно записать 

В изотропном диэлектрике направления векторов D и E совпадают и  Подставим выражение , получим 

Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля в вакууме. Второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика. Покажем это на примере неполярного диэлектрика. Поляризация неполярного диэлектрика заключается в том, что заряды, входящие в состав молекул, смещаются из своих положений под действием электрического поляЕ. В расчете на единицу объема диэлектрика работа, затрачиваемая на смещение зарядов q_i на величину dr_i, составляет 

Выражение в скобках есть дипольный момент единицы объема или поляризованность диэлектрика Р. Следовательно, . Вектор P связан с вектором E соотношением . Подставив это выражение в формулу для работы, получим

Проведя интегрирование, определим работу, затрачиваемую на поляризацию единицы объема диэлектрика

.

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенного в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл:

16.1. Энергия системы зарядов

Найдем сначала выражение для потенциальной энергии системы двух точечных зарядов  и  , находящихся на расстоянии  . Когда заряды удалены друг от друга на бесконечность, они не взаимодействуют. Положим в этом случае их энергию равной нулю. Сблизим заряды на заданное расстояние  . При этом мы должны будем совершить работу против электрических сил, которая пойдет на увеличение потенциальной энергии системы. Сближение зарядов можно произвести, приближая  к  либо  к  .Работа переноса заряда  из бесконечности в точку, удаленную от  на 

где  - потенциал, создаваемый зарядом  в той точке, в которую перемещается заряд  . Аналогично работа переноса заряда  из бесконечности в точку, удаленную от  на  , равна

где  - потенциал, создаваемый зарядом  в той точке, в которую перемещается заряд  . Значение работ в обоих случаях одинаковы, и каждое из них выражает энергию системы

Для того чтобы в выражение энергии системы оба заряда входили симметрично, запишем его следующим образом:

Эта формула дает энергию системы двух зарядов. Перенесем из бесконечности еще один заряд  и поместим его в точку, находящуюся на расстоянии  от  и  от  . При этом совершим работу

где  - потенциал, создаваемый зарядами  и  в той точке, в которую мы поместили заряд  . В сумме с  или  работа  будет равна энергии трех зарядов:

Последнее выражение можно привести к виду

Добавляя к системе Зарядов последовательно  и т.д., можно убедиться в том, что в случае n зарядов потенциальная энергия системы равна

(16.1)

где  - потенциал, создаваемый в той точке, где находится  , всеми зарядами, кроме i-го.