3.8. Центр инерции системы

В рассматриваемом выше уравнении Ньютона предполагалось, что тело имеет настолько малые размеры, что его можно считать материальной точкой. Движение любого недеформируемого тела конечных размеров может быть описано уравнениями, аналогичными (3.6), если ввести понятие «центра масс» («центра инерции») тела. Если тело состоит из n материальных точек с массами и радиус-векторами, то центром масс системы материальных точек называют такую т.С, радиус-вектор которой определяется следующим образом:

(3.7)

где и- масса и радиус-вектор i-ой точки системы, m - общая массавсей системы.

Соответственно соотношения между декартовыми координатами центра инерции и всех точек системы имеют вид:

Скорость центра инерции:

(3.8)

Импульс системы. Геометрическую сумму импульсов всех материальных точек системы называют импульсом системы и обозначают буквой :

,

тогда скорость центра масс

(3.9)

Таким образом, из (3.9) следует, что импульс системы равен произведению массы всей системы на скорость ее центра инерции:

(3.10)

3.9. Универсальная форма второго закона Ньютона, выраженная через импульс системы

Используя выражеие для импульса

и второй закон Ньютона можем записать

(3.11)

где - главный вектор всех внешних сил, действующих на систему.

Последнее уравнение является обобщением уравнения импульса на произвольную механическую систему, т.к. ее всегда можно представить, в виде системы материальных точек, взаимодействующих друг с другом и с внешними телами. Внешними телами называются тела, не входящие в состав рассматриваемой системы, а силы, действующие на систему со стороны этих тел - внешними силами. Соответственно силы взаимодействия между материальными точками, принадлежащими рассматриваемой системе называются внутренними силами, и их равнодействующая равна нулю. Уравнение (3.11) показывает, что скорость изменения импульса механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.

3.10. Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела

Используя уравнения:

и ,

можем записать

или

(3.12)

Таким образом, центр инерции механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе. В общем случае движение твердого тела можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного со скоростью , равной скоростицентра инерции тела, и вращения вокруг центра инерции. Поэтому последнее уравнение часто называют основным уравнением динамики поступательного движения твердого тела.

3.11.Изолированная (замкнутая) система. Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона. Он имеет место в изолированной (замкнутой) системе тел.

Такой системой называется механическая система, на каждое из тел которой не действуют внешние силы. В изолированной системе проявляются внутренние силы, т.е. силы взаимодействия между телами, входящими в систему.

Так как в замкнутой системе внешние силы отсутствуют, то

или

(3.13)

Это равенство выражает закон сохранения импульса, согласно которому полный вектор импульса замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.

Т.к. , то при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, скорость ее центра инерции сохраняется неизменной.