Решение

Выражая энергию возбуждения через длину волны и используя сериальную формулу для атома водорода, получим

. (2.62)

Учитывая, что hcR = 21,9∙10^-19 Дж=13,6эВ и n₁=1, получим

, откуда следует, что n₂=3.

С третьего уровня возможен прямой переход на первый и второй уровни, со второго уровня – переход на первый. Получим три линии спектра. Для расчета соответствующих длин волн используем сериальную формулу

. (2.63)

Для λ₁ положим n₁ = 1 и n₂ = 3, для λ₂ - n₁ = 1 и n₂ = 2, для λ₃ – n₁ = 2, n₂ = 3.

Подставим в формулу (2.63) данные значения и получим соответствующие длины волн

;

;

.

ЗАДАЧА №2.45 Найти энергию ионизации двукратно ионизированного атома лития.

Дано: Z_Li=3

Найти: Е_ион -?

Решение

Двукратно ионизированный атом лития представляет собой водородоподобный атом, для которого, согласно предыдущей задаче, можно применить обобщенную формулу (2.62) для энергии перехода электрона с уровня n₁ на уровень n₂

. (2.64)

В случае ионизации n₁=1, n₂=∞. Подстановка числовых значений в

формулу (2.64) дает .

ЗАДАЧА №2.46 Найти угловую скорость при вращении молекулы водорода на первом возбужденном вращательном уровне, если расстояние между центрами атомов равно 0,74.

Дано: d = 0,74= 0,74∙10^-10 м;

ħ =1,05∙10^-34 Дж∙с;

m_H = 1,67∙10^-27 кг.

Найти: ω - ?

Решение

Кинетическая энергия вращения молекулы водорода определяется по формуле

, (2.65)

откуда

. (2.66)

Учитывая, что вращательное квантовое число для первого возбужденного уровня J = 1, а момент инерции (см. рис.14)

I=2m_Hr²=2m_H(d/2)² = m_Hd²/2, формулу (2.66), можно будет представить в

виде

. (2.67)

О

О^/

Рис.14. Молекула водорода (ОО^/ - ось вращения)

ЗАДАЧА №2.47 Пусть молекула водорода перешла на первый колебательно-вращательный энергетический уровень. Какая линия спектра будет наблюдаться при ее переходе в основное состояние?

Дано: v = 0;

J = 0,1 ?

Найти:  -?

Решение

Уровень колебательно-вращательной энергии, соответствующий колебательному квантовому числу v и вращательному квантовому числу J, имеет значение

. (2.68)

В основном состоянии: v = 0 и J = 0, откуда

. (2.69)

Следующее по величине значение колебательно-вращательной энергии получим при v = 0 , J = 1. Это дает

. (2.70)

При переходе с первого уровня на основной излучается фотон с энергией

. (2.71)

Из предыдущей задачи и

. (2.72)

Подставляя в (2.72) числовые значения, получим 10^-6 м 1мкм.

§2.6 Физика твердого тела

ЗАДАЧА №2.48 Считая элементарную ячейку кристалла параллелепипедом с параметрами a, b, c, γ, α, β (см. рис.15), вывести все возможные типы кристаллографических систем (сингоний).

Ответ:

Рис. 15. Элементарная ячейка кристалла

1. а ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ - триклинная,

2. a ≠ b ≠ c, α=γ=90º, β≠90º - моноклинная;

3. а ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90º - ромбическая;

4. a = b ≠ c, α = β= γ=90º - тетрагональная,

5. a=b=c, α=β=γ≠90º - ромбическая,

6. a = b = c, α = β = 90º, γ =120º - гексагональная,

7. a = b= c, α= β= γ= 90º - кубическая.

ЗАДАЧА №2.49 Пусть кристалл представляет одномерную цепочку, построенную из чередующихся атомов двух видов ●—○—●—○—●—○.

Сколько типов нормальных колебаний возникает в этой цепочке, если движение частиц возможно только вдоль цепи? Каковы они?

Ответ. Элементарная ячейка содержит n = 2 частицы. Поскольку движение одномерное, число степеней свободы, а, следовательно, число нормальных колебаний n = 2. Одно колебание будет акустическим (оба атома смещаются в одном направлении ●→ ○→, что вызовет упругую акустическую волну), другое колебание будет оптическим (атомы получают смещение в противоположные стороны ←● ○→).

ЗАДАЧА №2.50 Согласно классической механике вклад электронов в теплоемкость твердого тела должен быть значительным, тогда как опыт показывает совершенно противоположное. Какой отсюда следует вывод? Какая теория правильно решила этот вопрос?

Ответ: Согласно классической теории электроны в металле представляют собой идеальный газ. В этом случае на каждый электрон приходится энергия и теплоемкость электронного газа оказывается сравнима с теплоемкостью кристаллической решетки, что опровергается опытом. Следовательно, на электронный газ нельзя распространять классическую теорию. Этот газ подчиняется квантовой статистике Ферми-Дирака и приТ=0К представляет вырожденный газ, в котором электроны заполняют все возможные квантовые состояния в пределах от 0 до Е_ф. Если температура повышается, то принять эту энергию способны только крайние электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, а они составляют очень небольшую часть от общего количества электронов. Поэтому электроны дают незначительный вклад в теплоемкость металла.

ЗАДАЧА №2.51 В чистый кремний введена небольшая примесь галлия. Пользуясь таблицей Менделеева, определите тип проводимости примесного кремния.

Ответ. Галлий относится к третьей группе, следовательно, трехвалентен. Для образования химической связи с атомами кремния возникает недостаток электронов, поэтому электропроводимость будет дырочной (р – типа).

ЗАДАЧА №2.52 Нарисуйте энергетические зоны примесного полупроводника и объясните примесную проводимость n – типа и р – типа. Указание: донорные уровни расположены чуть ниже зоны проводимости, а акцепторные уровни – чуть выше валентной зоны чистого полупроводника.

Ответ:

а) б)

Рис. 16. Структура энергетических зон полупроводника

а) донорного типа; б) акцепторного типа.

Электроны с донорных уровней могут переселяться в зону проводимости, создавая проводимость n – типа (рис.16, а). В другом случае электроны из валентной зоны получают возможность переходить на свободные акцепторные уровни, оставляя дырки в валентной зоне. Создается проводимость р – типа (рис.16, б).

ЗАДАЧА №2.53 Медь имеет гранецентрированную кубическую решетку. Расстояние между ближайшими атомами меди 0,255 нм. Определить плотность меди и параметр решетки.

Дано: d = 0,255 нм =2,5510^-10 м;

n =4 ;

µ= 63,5410^-3 кг/моль;

N_А = 6,0210²³ моль^-1.

Найти: ρ -? а- ?