Chast_10_TV

Равномерно распределенная случайная ве

личина

X

задана плотностью распределе

25

ния

f

(

x

)

=

1

в интервале

(

a - l, a + l

) ; вне

2l

Г317

этого интервала f (x ) = 0 . Найти математи

ческое ожидание и дисперсию X .

M (X ) = a (кривая распределения симметрична

x = a ); D (X ) =

l2

относительно прямой

3 .

2.5. Нормальное распределение

Математическое ожидание нормально рас

26

пределенной случайной величины X равно

Г322

a = 3

и

среднее квадратичное

отклонение

s = 2

. Написать плотность вероятности X .

1

- (x -3)2

f (x ) =

e

8 .

2 2p

Нормально распределенная случайная вели

27

чина

X

задана

плотностью

M (X ) = 1,

f (x ) =

1

- (x -1)2

Г324

e

50 . Найти математическое

D(X ) = 25 .

5 2p

ожидание и дисперсию X .

Математическое ожидание и среднее ква

дратичное отклонение нормально распреде

28

ленной

случайной величины

X соответ

P (15 < X < 25) =

Г329

ственно равны 20 и 5. Найти вероятность

того, что в результате испытания X примет

= 0,6826

значение, заключенное в интервале (

) .

15, 25

171

2.5. Показательное распределение и его числовые характеристики

Найти параметр λ показательного распреде

29

ления: а)

заданного плотностью

f (x ) = 0

а) l = 2 ,

при x < 0 ,

f (x ) = 2e-2 x при x > 0 ; б) задан

Г348

ного функцией распределения F (x) = 0 при

б) l = 0,4

x < 0 и F (x) = 1 - e- 0,4 x при x > 0 .

Непрерывная случайная величина

X

рас

пределена по показательному закону, задан

30

ному при x > 0 плотностью распределения

P (1 < X < 2) =

f (x ) = 0,04e-0,04 x ;

при

x < 0

функцией

Г351

f (x ) = 0 .

Найти

вероятность

того,

что

= 0,038

в результате испытания

X

попадает в ин

1, 2

) .

тервал (

Найти математическое ожидание показа

31

тельного

распределения,

заданного

при

а) M (X) =0,2

Г354

x > 0 :

f (x ) = 5e- 5x ; б)

б)

M

(

X

)

= 10

а) плотностью

функцией

распределения F (x) = 1 - e- 0,1x .

Найти дисперсию и среднее квадратичное

D(X ) = 0,01;

32

отклонение показательного распределения,

Г357

заданного

плотностью

вероятности

s(X ) = 0,1

f (x ) = 10e

-10x

x

> 0 .

На шоссе установлен контрольный пункт

для проверки технического состояния авто

мобилей. Найти математическое ожидание

M T

)

= s T

=

и среднее квадратичное отклонение случай

(

( )

= 0,2 ч.

ной величины T – времени ожидания оче

редной машины контролером, если поток

Контролер

33

машин простейший и время (в часах) между

Г366

прохождениями машин через контрольный

в среднем

пункт распределено по показательному за

будет ждать

кону

f

t

)

= 5e

- 5t

.

очередную

(

машину

Указание: время ожидания машины кон

тролером и время прохождения машин че

12 мин.

рез контрольный пункт распределены оди

наково.

172

2.6. Числовые характеристики функции случайного аргумента

	Случайная величина X задана плотностью
	распределения		f (x ) = x + 0,5			в		интервале
34	(	0,1		f	(	x	)	= 0	. Найти
Г284		) ; вне этого интервала								M (X 3 ) = 1340
	математическое ожидание функции Y = X 3
	(не находя предварительно плотности рас
	пределения Y ).
	Случайные величины Х и Y независимы									M (XY ) =
35	и распределены равномерно: X– в интервале
Г320	(a, b) , Y — в интервале (c, d ) . Найти матема									= a + b c + d
	тическое ожидание произведения XY.
										2	2

ДЗ 3. Закон больших чисел.

Двумерные дискретные и непрерывные случайные величины и их числовые характеристики (ДДСВ и ДНСВ). Функции случайных величин и случайных векторов.

1. Закон больших чисел

Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. Оцените с помощью неравенства

1 Чебышева вероятность того, что абсолютная вели 0,88 чина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) от казов за время Т окажется меньше двух.

3Каково распределение для СВ X — длины березового листа среди сорванных?

Вероятность события А при каждом испытании рав

на 0,7. Сколько раз достаточно повторить испытание,
4 чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что	274
частота появления события А будет отклоняться от
вероятности не больше чем на 0,05?

173

2.Двумерные дискретные и непрерывные случайные величины

иих числовые характеристики (ДДСВ и ДНСВ)

№				Задание
	ДДСВ (X ,Y ) задана таблицей:
	X		Y
		1	2	3
	1	0,16	0,12	0,08
	2	0,28	0,11	0,25

Найдите:

1)безусловные законы распределения случайных величин X и Y ;

2)функцию распределения системы СВ (X ,Y ) ;

3)условные законы распределения X при разных значениях Y , чтобы установить, зависимы или нет компоненты X и Y ;

4)математические ожидания, дисперсии и среднеквадратиче ские отклонения;

5)корреляционный момент (ковариацию);

6)коэффициент корреляции.

	Ответ:
1	1)
	X		1		2
	Р		0,36		0,64
	Y		1		2				3
	Р		0,44		0,23				0,33
	2) F (x, y)
			y Ј1		1 < y Ј 2			2 < y Ј 3				3 < y
	x Ј1		0		0				0			0
	1 < x Ј 2		0		0,16				0,28			0,36
	2 < x		0		0,44				0,67			1
	3) Х и Y зависимы, так как, например,
	{	}		{		}	{		}	= 0,36		Ч 0,44
	P X = 1,Y	= 1	= 0,16	№ P X =		1	Ч P Y		= 1

4)M (X ) = 1,64 , M (Y ) = 1,89, D(X ) = 0,2304 , D(Y ) = 0,7579 ,

s(X ) = 0,48 , s(Y ) = 0,87.

5)KXY = 0,0404 .

6)rXY = 0,096 .

174

Случайная величина (X ,Y )			распределена в области D по закону
	йa Ч y (y - xy), (x, y)ОD,			где D : x О[0;1], y О[0;1].
f (x, y) = к		0, (x, y)ПD,
	л
Найдите:
1)	параметр распределения a ;
2)	плотности распределения каждой составляющей системы;
3)	частные функции распределения СВ Х и Y;
4)	вероятность	попадания	случайной точки (X ,Y )в область

1: x О[0,7;3], y О[0;0,3];

5)интегральную (совместную) функцию распределения F (x, y) системы СВ (X ,Y ) ;

6)математические ожидания и дисперсии компонент;

7)корреляционный момент (ковариацию);

8)коэффициент корреляции.D

Ответ: 1) a =4.

)

[

]

fY (y) = нп

[

]

2)

fX (x) = нп (

, x О

м2 1 - x

0,1 ,

м2y, y О

0,1 ,

2

п

0, x П[0,1].

п 0, y П[0,1].

о

0, x Ј 0,

о

0, y Ј 0,

м

м

3) FX (x) = нп2x - x2,0 < x Ј 1, FY (y) = нпy2,0 < y Ј 1,

п

1,1 < x.

п

1,1 < y.

о

о

4) 0,0081.

x < 0, y < 0,

м

п

0, x < 0, y > 0,

п

п

x > 0, y < 0,

5) F (x, y) = нп

xy2 (2 - x), (x, y)ОD,

п

2

y О

[

]

п

y ,

п

(

0,1 , x > 1,

- x

)

О

[

]

пx

2

, 0

0,1 , y > 1,

о

1, x > 1, y > 1.

6)M (X ) = 0,33, M (Y ) = 0,66 , D(X ) = 0,055 , D(Y ) = 0,055 .

7)KXY = 0 .

8)rXY = 0 .

175

3. Функции случайных величин и случайных векторов

№			Задание
	ДСВ Х задана рядом распределения:
	Х	–1	–2	1	2
	p	0,3	0,1	0,2	0,4

1Найдите ряд распределения СВ Y = X2.

Ответ:

	Y	1	4
	p	0,5	0,5
	ДСВ Х задана рядом распределения:
	Х	p	p		3p
		4	2		4
	p	0,2	0,7		0,1

2Найдите ряд распределения CВ Y = sin X.

Ответ:

Y

2

1

2

p

0,3

0,7

ж

-

p

,

p ц

. Найдите

НСВ Х равномерно распределения в интервале з

2

ч

плотность распределения

и

2 ш

f ( y ) СВ Y=sin X и проверьте правиль

3

ность решения задачи.

Ответ: f (y ) =

1

.

p 1- y 2

f (x ) =

1

e-

x 2

НСВ Х нормально распределена с плотностью

,

2

2p

-Ґ < x < Ґ .

Найдите плотность распределения f ( y ) СВ Y=X2

и проверьте

4

правильность решения задачи.

м

1

-

y

e

2 ,0 < y < Ґ,

Ответ: f (y ) = нп

2py

п

0, y

Ј 0.

о

176

	Независимые ДСВ Х и Y заданы распределениями:
	Х	0					2		4
	p	0,25					0,5		0,25
	Y	0					2
	p	1					2
5		3					3
	Найдите закон распределения СВ Z = X+Y. Сделайте проверку.
	Ответ:
	Z	0					2		4			6
	p	1					1		5			1
							3					6
		12							12
	Независимые ДСВ Х и Y плотностями распределений:
	f1 (x ) = e- x ,0 Ј x < Ґ ,						(y ) = 1 e-	y	,0 Ј y < Ґ .
					f2			2
							2

6Найдите плотность распределения СВ Z = X+Y. Сделайте про верку.

Ответ: g (z ) = e	- z	ж	- e	- z	ц	Ј z .
	2	з1		2	ч,0
		и			ш

177

10. РАСЧЕТНАЯ РАБОТА

Титульный лист

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина Кафедра высшей математики

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА

МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Часть 1 Составители: Рыбалко А. Ф., Рыбалко Н. М., Лобашева Н. А.,

Магомедова Р. С.

Студент

Группа

Преподаватель

Вариант

Дата

Екатеринбург

178

Введение в теорию вероятностей.

Часть 1

Вариант 1

1.Монета подброшена 3 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

2.Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что разность выпавших очков равна четырем.

3.В коробке 15 гаек, среди которых две 7, три 10, остальные 8. Наудачу взяты 5 гаек. Определить вероятность того, что среди них одна 7, две 10 и две 8.

4.Какова вероятность попасть не целясь бесконечно ма лой пулей в прут квадратной решетки 10, если расстояние между центрами прутьев равно 30.

5.Для типового расчета составлены 15 задач, среди кото рых пять — повышенной сложности. В билет случайным об разом попали три задачи. Какова вероятность того, что хотя бы одна задача будет повышенной сложности?

6.Вирус подвергается действию раствора антибиотиков А, В, С, концентрация которых соответственно 52 %, 38 % и 10  %,

аэффективность уничтожения ими вируса — соответственно 30 %, 40 % и 70 %. Определить вероятность гибели вируса.

7.Маша, Даша и маленькая Сонечка договорились мыть посуду по очереди, но в случайном порядке. Вероятность что-то разбить для девочек равна соответственно 0,3 %; 0,5 % и 10 %. Из кухни доносится звон разбитой чашки. Определить вероятность того, что посуду в этот раз мыла Маша.

8.Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, не менее трех девочек, если вероятность рождения мальчика и девочки считать одинакова.

9.Вероятность разрушения образца композита при испы тании на прочность равна 0,3. Определить вероятность того, что при испытании 100 образцов неразрушенными останутся от 65 до 75 образцов.

10.Вероятность того, что автомат заклинит при выстреле, равна 2 %. Определить вероятность того, что при 1000 выстре лах заклинивание произошло 10 раз.

179

Вариант 2

1.В коробке находятся карточки с буквами П, Т, Я, Ь, С, М. Наудачу по одной извлекают четыре карточки. Найти веро ятность того, что появится слово «ПЯТЬ».

2.В колоде 32 карты. После извлечения и возвращения од ной карты колода перемешивается и снова извлекается карта. Определить вероятность того, что обе извлеченные карты бу дут одной масти.

3.В тренажерном зале занимаются 5 бухгалтеров, 3 врача

и6 менеджеров. К кулеру случайным образом подошли 5 че ловек. Какова вероятность того, что среди них два бухгалтера, один врач и два менеджера?

4.В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до од ного конца отрезка не менее 0,2 а до другого конца не менее 0,1.

5.Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Сброшены 4 бомбы, вероятность попадания которых соответственно 0,2; 0,3; 0,4; 0,45. Найти вероятность того, что мост будет разрушен.

6.В первой урне 4 белых шара и 1 черный шар, во второй- 2 белых и 3 черных шара. Из первой урны во вторую переложено три шара, а затем из второй урны извлечен один шар. Опреде лить вероятность того, что этот шарбелый.

7.Два охотника одновременно стреляют в цель. Извест но, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, а у второго — 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промах нулся первый охотник?

8.Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее двух раз.

9.Вероятность появления события в каждом из 100 неза висимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний.

10.Вероятность занести один вирус из Интернета оценива ется как 0,01 % на один Гб. Пользователь скачал 100 Гб из не проверенных источников. Найти вероятность того, что у поль зователя поселилось два разных вируса.

180