Chast_10_TV

Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины X

n	Ґ
M (X ) = еxi pi = mx	mx = M (X ) = т x Ч f (x)dx
i=1	-Ґ
(для дискретной с. в.)	(для непрерывной с. в.)

Свойства математического ожидания

1)M (C) = C , C - const ;

2)M (CX ) = CM (X );

3)M (X ±Y ) = M (X ) ± M (Y ) , X и Y — любые с. в.;

4)M (X ЧY ) = M (X ) Ч M (Y ) , если X и Y — независимые с. в.

С.в. называются независимыми, если для любых x и y имеет место равенство P {X < x,Y < y} = P {X < x}Ч P {Y < y}.

Мода Mox дискретной	Мода непрерывной с. в. — значение, при
с. в. — ее наиболее вероят	котором плотность вероятности макси
ное значение	мальна

Медиана Mex непрерывной с. в. — такое значение с. в., для которого

P{X < Mex }= P{X > Mex }= 12 .

Характеристики рассеяния с. в. относительно среднего значения — дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО) .

Дисперсия случайной величины X :		D(X ) = Dx = M ((X - mx )2 ).
Для вычислений удобна формула: Dx = M (X 2 ) - (mx )2 .
n		Ґ
Dx = е(xi - mx )2 pi		Dx = т (x - mx )2 f (x)dx
i=1		-Ґ
(для дискретной с. в.)		(для непрерывной с. в.)

261

Свойства дисперсии

1)D(C) = 0 , C - const ;

2)D(CX ) = C2D(X ) ;

3)D (X ±Y ) = D (X ) + D (Y ) , X и Y — независимые с. в.

Среднее квадратическое отклонение (СКО): s(X ) = sx =				Dx .
Моменты случайных величин
		n
		as (X ) = еxis pi
Начальный момент порядка s		i =1
		(для дискретной с. в.)
с. в. Х — математическое ожида
ние		Ґ
с. в. X s : as (X ) = M (X s ).		as (X ) = т x s f (x )dx
		-Ґ
		(для непрерывной с. в.)
		n		)s pi
		as (X ) = е(xi - mx
		i =1
Центральный момент		(для дискретной с. в.)
порядка s	).
s			s
с. в. Х: ms (X ) = M ((X - M (X ))		Ґ
		as (X ) = т (x - mx ) f		(x)dx
		-Ґ
		(для непрерывной с. в.)

Основные законы распределения случайных величин и их числовые характеристики

Название	Формула	M (X )	D(X )	Примечания
Биноми	Pn (X = k) =Cnk pkqn-k			0 Ј k Ј n
альное рас		np	npq
пределение

262

Распреде	lk
ление		-l	l	l
Пуассона	P (X = k) = k! e

Равномер

м 0, x

< a, x > b,

b + a

(b - a)

2

м0, x < a,

ное распре

п

п

a

деление

f (x) = н

1

2

п x

, a Ј x Ј b.

12

F (x) = н

, a

Ј x Ј b,

п

п

b

a

оb a

п1, x > b.

о

Показа

тельное

мle-lx , x і 0,

1

1

м1 - e-lx , x і 0,

распределе

f (x) = н

F (x) =

н

l

l

2

ние

о0, x < 0,

о0, x < 0.

Нормаль

ное распре

1

-(

x-m

2

m

s2

1

ж

х - m ц

f (x) =

2)

F (x)

деление

e

2s

=

+Ф з

ч

2

s

N (m,s)

s 2p

и

ш

Стандарт

ное нор

x 2

1

мальное

1

-

0

1

2

распределе

f (x) =

e

F (x) = 2

+Ф (x)

2p

ние

N

(

0,1

)

Сумма квадратов независимых с. в. Х1, Х2,..., Хn , распре

деленных по стандартному нормальному закону

N

(

0,1

) ,

распределена по закону, называемому «хи–квадрат с n

Распреде

n

степенями свободы»: c2 = еXi2 .

ление-c

2

i =1

Если эти величины связаны одним линейным соотноше

(Пирсона)

n

нием, например, еXi = nX , число степеней свободы

i =1

уменьшается, k = n -1.

263

— с. в., распределенная по закону

(

) , а

— неза

Z

N

0,1

V

висимая от Z с. в., распределенная по закону c2

с k сте

t — рас

пенями свободы. Величина

t =

Z

=

Z

пределение

c2

Стьюдента

V

k

k

распределена по закону, называемому t — распределением

Стьюдента с k степенями свободы.

Если независимые с. в. U и V распределены по закону

c2 с k1

и k2 степенями свободы соответственно,

F — рас

то величина

жU

ц

пределение

з

ч

F =

и

k1 ш

Фишера —

жV

ц

Снедекора

з

ч

и

k2 ш

распределена по закону, называемому распределением Фишера — Снедекора со степенями свободы k1 и k2 .

Закон распределения функции от одной случайной величины

Если дискретная с. в. X имеет ряд распределения

	X		x1	x2		x3		...
	P		p1	p2		p3		...
и задана монотонная функция y = g					(x) , то дискретная с. в. Y = g (X ) ,
		являющаяся функцией X , имеет ряд распределения
	Y		g(x1)	g(x2)		g(x3)		...
	P		p1	p2		p3		...

Если y = g (x) — немонотонная функция, то среди ее значений g (x1 ) , g (x2 ) , g (x3 ) , … могут быть равные. В этом случае столбцы с равными

значениями g (xi ) объединяют в один столбец, а соответствующие ве роятности складывают.

264

Пусть непрерывная с. в. X имеет плотность распределения fX (x ) ; если функция y = g (x) монотонна, то с. в. Y = g (X ) имеет плотность распределения

fY (y ) = fX (g -1 (y))Ч (g -1 (y))ў ,

где x = g -1 (y) — функция, обратная к y = g (x) .

В случае, если y = g (x) немонотонна, для нахождения fY ( y ) область определения y = g (x) нужно разбить на промежутки монотонности, на каждом участке найти обратную функцию, найти вклад в плотность вероятности fY ( y ) от каждого участка и результаты сложить:

n	(y))Ч					(gi -1 (y))ў
fY (y ) = е fX (gi -1											.
i =1
Двумерные случайные величины
Пусть на одном и том же пространстве элементарных событий
{ } заданы случайные величины		(		) и				(		) , то говорят, что
W = w	X		w				Y		w

задана двумерная случайная величина (X (w),Y (w)) , или случайный вектор Z (w) = (X (w),Y (w)) . Геометрическая интерпретация двумер ной с. в. — это случайная точка на плоскости с координатами (X ,Y ) , или случайный вектор OM .

Функция распределения двумерной с. в. (X ,Y ) определяется соотно шением F (x, y) = P{X < x,Y < y} и геометрически определяет вероят ность попадания случайной точки (X ,Y ) в бесконечный квадрант

с вершиной в точке (x, y) , лежащей левее и ниже ее.

Закон распределения дискретной двумерной с. в. может быть задан с помощью таблицы

	yi	y1	y2	…	ys
	xi
				…
	x1	p11	p12		p1s
	x2	p21	p22	…	p2s
	…	…	…	…	…
	xk	pk1	pk 2	…	pks

где pij = P {X = xi ,Y = y j } — вероятность того, что случайная величи

на X примет значение xi , а случайная величина Y — значение y j , pij і 0 , при этом ееpij =1 .

i j

265

Для двумерной с. в. (X ,Y ) дискретного и непрерывного типа функции распределения соответственно равны

F (x, y ) = е е pij

(

)

x y

(

)

F

x, y

=

т т

f

u,v

dudv,

x

<x y

<y

i

j

-Ґ -Ґ

где f (x, y )

— плотность вероятности величины (X ,Y ) .

Свойства плотности вероятности

1)f (x, y ) і 0 ;

ҐҐ

2)т т f (x, y)dxdy = 1;

-Ґ -Ґ

3)f (x, y) = Fxyўў (x, y) ;

4)вероятность попадания случайной точки (X ,Y ) в область D равна

P {(X ,Y )О D}= тт f (x, y)dxdy

D

Случайные величины X и Y называются независимыми, если

F (x, y) = FX (x) Ч FY (y) .

Для непрерывных независимых с. в. двумерная плотность вероятно сти f (x, y) = fX (x) Ч fY (y) .

Математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y , входящих в двумерную величину, определяются по формулам:

Для дискретных X и Y

Для непрерывных X и Y

M (X ) = mX = ееxi pij

(

)

Ґ Ґ

(

M

X

= m

=

т т

xf

x, y

dxdy

i

j

X

)

-Ґ -Ґ

( )

Y

ее

j ij

M Y =

Ґ Ґ

yf

x, y dxdy

M Y

= m =

y p

(

)

т т

(

)

i j

-Ґ -Ґ

D (X ) = DX = ее(xi

- mX )2 pij

Ґ Ґ

D

(

X

)

=

т т (

x - m

2

f

(

x, y

dxdy

i

j

X )

)

-Ґ -Ґ

266

(

)

ее

2

( )

Ґ Ґ

Y )

(

)

= D

=

y - m

т т (

2

D Y

p

(

Y )

D Y

=

y - m

f

x, y dxdy

Y

i

j

j

ij

-Ґ -Ґ

Средние квадратичные отклонения случайных величин X и Y

(

)

X

(

) ,

( )

Y

( ) .

s

X

= s

=

D

X

s

Y

= s =

D Y

Точка (mX

,mY ) называется центром рассеивания двумерной случайной

величины

(X ,Y ) и описывает положение средней точки, около кото

рой группируются случайные точки (

X ,Y

) . Дисперсии

(

) ,

( )

D

X

D Y

и соответствующие СКО описывают степень рассеяния случайных точек.

Корреляционный момент с. в. (X ,Y ) (момент связи, ковариация) — сме шанный центральный момент второго порядка:

KXY = cov (X,Y ) = m1,1 = M ((X - mX )(Y - mY )). Для дискретной с. в. (X ,Y )

k	s
K XY = ее(xi - mX )(y j - mY ) pij ,
i =1	j =1
для непрерывной с. в. (X ,Y )
Ґ Ґ
K XY = т т (x - mX )(y - mY ) f (x, y)dxdy .

-Ґ -Ґ

Для вычисления ковариации удобно использовать формулу

KXY = cov (X,Y ) = M (XY ) - M (X )Ч M (Y ) .

Свойства ковариации

1.Ковариация симметрична: KXY = KYX .

2.Постоянный множитель можно выносить за знак ковариации:

cov (cX ,Y ) = c Ч cov (X ,Y ) = cov (X ,cY ) . 3. Ковариация не изменится, если к случай

ным величинам добавить постоянные:

cov (X + a,Y ) = cov (X ,Y + b) = cov (X + a,Y + b) = cov (X ,Y ) .

4.Дисперсия с. в. есть ее ковариация с самой собой, DX = KXX .

5.Дисперсия суммы (разности) двух с. в. равна сумме их дисперсий плюс (минус) их удвоенная ковариация:

D(X ±Y ) = DX + DY ± 2KXY .

6. Если случайные величины X и Y независимы, то KXY = 0 .

Ковариация двух с. в. по абсолютной величине не превосходит произ ведения их средних квадратичных отклонений,

K XY Ј sx Ч sy .

267

Из свойства 6 следует, что если KXY № 0 , то с. в. X и Y зависимы. Если KXY № 0 , с. в. X и Y называют коррелированными. Однако из условия KXY = 0 не следует независимость с. в. X и Y . Если KXY = 0 , с. в. X и Y называют некоррелированными. Из независимости следует некоррелированность, обратное утверждение неверно, из некоррели рованности независимость не следует.

Из определения ковариации видно, что она описывает и степень рассеяния с. в. X и Y , и связь между этими величинами. Для того чтобы исключить влияние рассеяния и оценить только степень зависимости, вводят

коэффициент корреляции rXY	=	cov (X ,Y )		=	K XY		.
		s	s		s	s
			X Y			X Y

Свойства коэффициента корреляции

1.rXY Ј1 .

2.Для независимых с. в. rXY = 0 .

3.Если с. в. X и Y связаны линейной функциональной зависи

мостью, Y = aX + b, a № 0 , то						rXY		= 1, причем rXY = 1 при a > 0 и
				rXY = -	1 при a < 0 .
4. Если		rXY		= 1, то с. в. X и Y связаны линейной функциональной
				зависимостью.

Коэффициент корреляции rXY является мерой линейной связи между

случайными величинами: если с. в. независимы, rXY = 0 , если

rXY

= 1,

с. в. связаны линейной зависимостью, при

rXY

№ 1 зависимость

носит

иной характер. Чем больше

rXY

, тем больше

связь между X и Y по

хожа на линейную. При rXY

> 0

говорят о положительной корреляции

между X и Y , при rXY

< 0 — об отрицательной корреляции.

Условные законы распределения

Если с. в. X и Y , образующие двумерную с. в. (X ,Y ), зависимы, для характеристики этой зависимости вводят понятие условного распре деления. Напомним определение условной вероятности:

P (B		A) =	P (AB)	.
			P (A)

268

Условным законом распределения с. в. X , входящей в систему с. в.

(X ,Y ), называется ее закон распределения, найденный при усло вии, что вторая с. в. Y приняла определенное значение (или попала в определенный интервал).

Для дискретной двумерной случайной величины

X = {x1, x2,..., xk } , Y = {y1, y2,..., ys }, i = 1,2,...,k; j = 1,2,...,s .

Безусловные вероятности компонент:

Pxi = P (X = xi )					s		(X
				= еP
					j =1
	j	(	j )		k		(
				=	е
Py		= P Y = y				P		X

i =1

s

= xi ;Y = y j ) = е pij ,

j =1

k

= xi ;Y = y j ) = е pij .

i =1

Условные вероятности компонент:

P (xi

y j ) = P (X = xi

Y = y j ) =

P (X = xi ;Y = y j )

=

pij

,

P Y = y

j )

Py

j

(

P (y j

xi ) = P (Y = y j

X = xi ) =

P (X = xi ;Y = y j )

=

pij

.

P (X = xi )

Pxi

Если безусловные и условные вероятности (Pxi

и , Py j и P (y j

xi ))

отличаются, величины X и Y зависимы, если совпадают — независимы.

Для непрерывной случайной величины (X ,Y ) с плотностью f (x, y )

суммы заменяются интегралами.

Безусловные плотности распределения компонент X и Y

f1 (x ) = т-ҐҐ f (x, y )dy , f2 ( y ) = т-ҐҐ f (x, y )dx .

269

Условная плотность распределения (или плотность вероятности условного распределения) с. в. X при условии, что с. в. Y = y :

f (x		y ) =	f (x, y )	=		f (x, y )	, f2 ( y ) № 0
			f2 ( y )		Ґ
					т-Ґ	f (x, y )dx

Условная плотность обладает всеми свойствами плотности распреде ления:

f (x y ) і 0, т-ҐҐ f (x y )dx = 1 .

Аналогично определяется условная плотность распределения с. в. Y при условии, что с. в. X = x :

f ( y		x) =	f (x, y )	=	f (x, y )	, f1 ( y ) № 0 .
			f1 (x)		Ґ
					т-Ґ f (x, y )dy

Соотношения для условных плотностей могут быть записаны в виде:

f (x, y ) = f1 (x ) Ч f (y x ) = f2 (y ) Ч f (x y ) .

Числовые характеристики условных распределений

Условное математическое ожидание случайной величины X

				при Y = y ,
		где y — одно из возможных значений с. в. Y
для дискретной с. в.					для непрерывной с. в.
					M (X		Y = y) = Ґт xf (x				y)dx ,
		k							-Ґ
M (X		Y = y) = еxi p(xi		y)	где f (x				y ) — условная плот
		i=1
					ность распределения.

Условное математическое ожидание M (X y) является функцией y :

M (X y) = j(y) ,

которую называют функцией регрессии X на Y .

270