Chast_10_TV
.pdf
B {выпадение герба на второй монете}. Найдите вероятность того, что хотя бы на одной монете выпадет герб.
Решение 1:
Интересующее нас событие С {герб выпадет хотя бы на одной монете} имеет вид C = A + B .
Но P (С ) № P (A) + P (B) , т. к. события А и В совместны. Рассмотрим событие C {герб не выпал ни на одной монете}.
Возможные исходы: ГГ, ЦЦ, ЦГ, ГЦ, значит,
P (С) = 14 .
C +С = W — достоверное событие,
P (С)+ P (С) = 1 Ю P (С) = 1- P (С) = 1- 14 = 34 = 0,75 .
Ответ: 0,75
№ 5
Бросаются две монеты. Рассматриваются события: A {выпадение герба на первой монете};
B {выпадение герба на второй монете}. Найдите вероятность того, что хотя бы на одной монете выпадет герб.
Решение 2:
Интересующее нас событие С {герб выпадет хотя бы на одной монете} имеет вид C = A + B .
События А и В совместны, поэтому
P C |
= P |
( |
A |
) |
+ P |
( |
B |
) |
- P |
( |
AB |
) |
P |
( |
A |
) |
= 1 |
; P |
( |
B |
) |
= 1 |
; P |
( |
AB |
) |
= 1 |
Ч 1 |
= 1 |
||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
4 |
||||||||||||
( ) |
= |
1 |
+ |
1 |
- |
1 |
= |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
2 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
P C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: 0,75
№ 6
Вероятность потопить корабль для одной торпеды равна 0,5. Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль?
Решение:
Вероятность того, что 4 торпеды не потопят корабль, равна
P ( |
|
) = зж 1 |
чц4 . Вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, |
||||||||
A |
|||||||||||
|
|
и 2 |
ш |
|
|
ж |
1 ц |
4 |
15 |
|
|
равна P (A) = 1- P (A) = 1 |
= |
= 0,94 . |
|||||||||
- з |
ч |
|
|||||||||
Ответ: 0,94 |
и |
2 ш |
|
16 |
|
||||||
111
№ 7
Один стрелок делает 90 % попаданий в цель, другой и третий при тех же условиях — соответственно 80 % и 70 %. Какова вероятность хотя бы одного попадания в цель при одновременном выстреле тремя стрелками?
Решение:
События А {попадание в цель первым стрелком}, В {попадание в цель вторым стрелком},
С {попадание в цель третьим стрелком} — независимы и совместны.
P(A) = 0,9, P(B) = 0,8 и P(C) = 0,7. Вероятность события D = A + B +C - {хотя бы одно попадание в цель при одновременном выстреле тремя стрелками} равна
P(D) = P(A + B +C) = P(A) + P(B) + P(C) - -P(AB) - P(AC) - P(BC) - P(ABC) =
0,9 + 0,8 + 0,7 - 0,9 Ч 0,8 - 0,8Ч 0,7 - 0,9 Ч0,7 +
+0,9 Ч0,8Ч0,7 = 0,994.
Ответ: 99,4 %
№ 8
Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,7, а второго — 0,8. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена.
Событие A — {попадание в мишень первым стрелком}, событие B — {попадание в мишень вторым стрелком}, событие С — {мишень поражена}.
По условию
P(A) = 0,7; P(B) = 0,8.
Решение 1:
Найдем вероятность события C = A + B {мишень будет поражена хотя бы одним стрелком}. События A и B независимы P(A Ч B) = P(A) Ч P(B) и совместны:
P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A ЧB) ,
P(C) = 0,7 + 0,8 - 0,7 Ч0,8 = 0,94.
Решение 2:
Событие С {мишень будет поражена хотя бы одним стрелком} можно представить в виде суммы произведений:
C = A Ч B + A Ч В + A Ч B , где
112
A ЧB {попал первый стрелок, а второй не попал}, A ЧB {попал второй стрелок, а первый не попал}, A ЧB {оба попали в мишень}.
По правилу сложения вероятностей несовместных событий получаем:
P(C) = P(A Ч B) + P(A Ч B) + P(A Ч B) = = 0,7 Ч 0,2 + 0,3Ч 0,8 + 0,7 Ч 0,8 = 0,94.
Решение 3:
Событие C, противоположное событию С, имеет вид C = A + B = A + B {оба стрелка промахнулись}. Так как события A и B независимы, то
P(C) = P(A Ч B) = P(A)Ч P(B) = 0,3Ч 0,2 = 0,06.
Следовательно, P(C) = 1 - P(C) = 1 - 0,06 = 0,94.
Ответ: 0,94
4.3. Вероятность произведения (пересечения) независимых событий
№ 9
Два охотника стреляют одновременно и независимо друг от друга по зайцу. Заяц убит, если попали оба. Какова вероятность того, что заяц убит, если первый попадает с вероятностью 0,8, а второй — с вероятностью 0,75?
Решение:
P = 0,8Ч 0,75 = 0,6 .
Ответ: 0,6
№ 10 В двух партиях 76 % и 42 % стандартных изделий. Наудачу
выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность того, что хотя бы одно из них бракованное?
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A {стандартное изделие из первой партии};B |
{стандартное |
||||||||||||||||||
изделие из второй партии}; события |
|
|
|
и |
|
независимы; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
B |
|
|
C |
|
{хотя бы одно из них бракованное}.P (A) = 0,76 , P (B) = 0,42 , |
|||||||||||||||||||
C = W - AB |
, |
( ) |
= 1 - P |
( |
|
) |
= 1 - P |
( |
|
) |
|
( |
|
) |
= 0,6808 |
. |
|||
|
P C |
|
AB |
|
|
A |
|
P |
|
B |
|
|
|||||||
Ответ: 0,6808
113
№ 11 Три орудия вместе стреляют по мишени. Вероятности попада-
ния каждого: р1 = 0,4 , р2 = 0,5 , р3 = 0,7 . Найдите вероятности событий:
A {все три попадут в мишень}; B {попадет один}, С {хотя бы один попадет}.
Решение:
P (A) = P (A1A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 )P ( A3 ) =
0,4 Ч 0,5Ч 0,7 = 0,14;
P (В) = P (A1 A2 A3 )+ P (A2 A1 A3 )+ P (A3 A2 A1 ) =
= 0,4 Ч(1 - 0,5)Ч(1 - 0,7) + 0,5Ч(1 - 0,4)Ч(1 - 0,7) + +0,7Ч(1 - 0,5)Ч(1 - 0,4) = 0,4 Ч 0,5Ч 0,3 + 0,5Ч 0,6Ч 0,3 + +0,7Ч 0,5Ч 0,6 = 0,36;
P (С ) = 1 - P (С ) = 1 - P (A1 A2 A3 ) = 1 - 0,6Ч 0,5Ч 0,3 = 0,91.
Ответ: 0,14; 0,36; 0,91
№ 12 Найдите вероятность того, что при одновременном бросании
трёх монет на всех трёх появится герб.
Решение:
События А {появление герба на первой монете}, В {появление герба на второй монете} и С {появление герба на третьей монете} — независимые события. Вероятность события D= ABC {при одновременном бросании трёх монет на всех трёх появит-
ся герб} равна:
P(ABC) = 12 Ч 12 Ч 12 = 18 = 0,125.
Ответ: 0,125
№ 13 Стрелок стреляет по мишени до первого попадания, после чего
прекращает стрельбу. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что стрелок поразит мишень при четвёртом выстреле?
114
Решение:
Рассмотрим события Аi {стрелок попал при i-ом выстреле} и Ai {стрелок промахнулся при i-выстреле}, тогда событие {стрелок поразит мишень при четвёртом выстреле} = A1 Ч A2 Ч A3 Ч A4 .
P (A1 Ч A2 Ч A3 Ч A4 ) = (1 - 0,6)3 Ч 0,6 = 0,0384.
Ответ: 0,0384
№ 14 Бросают две игральные кости. Какова вероятность выпадения
на первой кости нечетного числа очков и на второй пяти очков?
Решение:
События:
A {выпадение нечетного числа очков на первой кости}; B {выпадение 5 очков на второй кости}.
Интересующее нас событие С {герб выпадет хотя бы на одной монете} имеет вид C = A Ч B .
События А и В совместны и независимы.
P (A Ч В) = P (A) Ч P (В) = 12 Ч 16 = 121 = 0,083.
Ответ: 0,083
№ 15 Зашедший в магазин мужчина покупает что-нибудь с вероят-
ностью 0,1, а зашедшая женщина –с вероятностью 0,6. У при-
лавка один мужчина и две женщины. Какова вероятность того, что по крайней мере один человек что-нибудь купит?
Решение:
События:
A {покупку сделает мужчина};
B1 {покупку сделает первая женщина},
B2 {покупку сделает вторая женщина}.
С {по крайней мере один человек что-нибудь купит}
C = A Ч B1 Ч B2 .
События А и В совместны и независимы.
P (С ) = P (АВ1В2 ) = P (A) + P (B1 ) + P (В2 ) - P (AB1 ) -
-P (AВ2 ) - P (B1В2 ) + P (AB1В2 ) =
=0,1 + 0,6 + 0,6 - 0,1Ч 0,6 - 0,1Ч 0,6 - 0,6Ч 0,6 +
0,1Ч 0,6Ч 0,6 = 0,856.
Ответ: 0,856
115
№ 16 Отдел технического контроля проверяет изделия на стандарт-
ность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найдите вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.
Решение:
Рассмотрим события A {первое изделие стандартно}, B {второе изделие стандартно}. Тогда события {оба изделия стандартны}, {хотя бы одно изделие стандартно} и {только одно изделие стандартно} представляют собой AB, (A+В) и (AB + AB) соответственно. Из рисунка видим пространство исходов:
W {AB, AB, AB, AB }.
P (A) = 0,9, P (B) = 0,9, P (AB) = 0,9Ч 0,9 = 0,81
События A и B совместны, поэтому
P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) = 0,9 + 0,9 - 0,81 = = 0,99
P (AB + AB) = P (A + B) - P (AB) = 0,99 - 0,81 = 0,18.
Ответ: 0,18
№ 17 Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек зна-
ют английский язык, 40 человек знают французский язык, 35 человек знают немецкий язык, 20 человек знают английский и французский языки, 8 человек знают английский и немецкий языки, 10 человек знают французский и немецкий языки, 5 человек знают все три языка. Какова вероятность того, что находящийся в аудитории человек не знает ни одного из этих языков?
Решение:
События:
A {студент знает английский язык}, B {знает французский},
С {знает немецкий}
D {человек не знает ни одного из этих языков}
116
На рисунке видим пространство исходов.
P (D) = 1 |
- |
( |
|
) |
|
( ) |
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
( |
|
) |
|
( |
|
)ы |
||||||||||||
л |
( |
|
|
) |
+ P |
|
|
- P |
|
|
|
- P |
|
|
- P |
|
+ P |
|
|||||||||||||||||||||||
- йP |
|
A |
|
|
|
B |
|
+ P C |
|
|
|
AB |
|
|
AC |
|
|
|
BC |
|
|
ABC |
щ = |
||||||||||||||||||
|
ж |
50 |
|
+ |
40 |
+ |
35 |
|
- |
20 |
|
|
- |
8 |
|
- |
|
|
10 |
+ |
|
5 |
ц |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= 1 - з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
= |
|
|
|
|
|
||||||||
100 |
100 |
100 |
|
100 |
|
100 |
100 |
100 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= 1 - 0,92 = 0,08.
Ответ: 0,08
№ 18 Определить вероятность того, что номер первой встретившей-
ся автомашины, состоящий из четырех цифр: А {не содержит цифры 5};
B {не содержит двух и более пятерок};
C {не содержит ровно двух пятерок}.
Решение:
А5 {появление пятерки на каком-либо месте номера}, А5 = {появление любой другой цифры}, P (А5 ) = 0,1, P (А5 ) = 0,9 .
A = А5 А5 А5 А5 ,
B = А5 А5 А5 А5 + А5 А5 А5 А5 + А5 А5 А5 А5 +
+ |
А5 |
|
А5 |
А5 |
А5 |
+ |
|
А5 |
|
|
|
А5 |
|
|
А5 |
А5, |
|
||||||||||||||||||||
C = W -(А5 А5 |
|
|
|
|
|
+ А5 |
|
А5 |
|
+ А5 |
|
|
|
А5 + |
|
||||||||||||||||||||||
А5 |
А5 |
А5 |
А5 |
А5 |
А5 |
P (A) = 0,94 » 0,656 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
А5 |
А5 А5 |
А5 |
+ + |
А5 |
А5 |
А5 |
А5 + |
А5 |
|
А5 |
А5 А5 ). |
|
||||||||||||||||||||||||
P (B) = 0,94 + 4 Ч 0,1Ч 0,93 » 0,948 , P (C) = 1- 6Ч 0,12 Ч 0,92 » 0,951.
Ответ: 0,951
117
4.4. Условная вероятность
№ 19
Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события:
A {выпадение герба на первой монете},
B {выпадение хотя бы одного герба}, С {выпадение хотя бы одной решетки}, D {выпадение герба на второй монете}.
Определите, зависимы или независимы события и вычислите вероятности пар:
1) A и С, 2) A и D, 3) В и С, 4) В и D.
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элементарные исходы — ГГ, ГР, РГ, РР.P (AC ) = 14 , P (AD) = 14 , |
||||||||||||||||||
P (BC ) = 12 , P (BD) = 14 . |
|
3 |
|
|
|
P CA |
|
|
1 |
4 |
|
|
1 |
|||||
|
P C |
= |
P C | A |
) |
= |
( |
) |
= |
|
|
|
= |
||||||
1) A и С зависимы, |
4 , |
P (A) |
1 |
|
2 ; 2) A и D |
|||||||||||||
( ) |
|
( |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
независимы, P (D) = 12 , P (D | A) = 12 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
P (BC ) |
|
|
2 4 |
|
|
|||||||||||
3) В и С зависимы, P (B) = 3 , P (B |C ) = |
= |
|
= 2 ; |
|||||||||||||||
( |
) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
P C |
|
|
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4) В и D зависимы, P (B) = 43 , P (B | D) = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: 0,5; 0,5; 0,5; 1
№ 20
Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются события:
A {появление туза},
B {появление карты красной масти}, С {появление бубнового туза},
D {появление десятки}.
Определите зависимы или независимы события, и вычислите вероятности пар:
1) A и В, 2) A и С, 3) В и С, 4) В и D, 5) С и D.
118
Решение:
P (AB) = 522 , P (AC ) = 521 , P (BC ) = 521 , P (BD) = 522 , P (CD) = 0 .
1)A и В независимы, P (A) = 131 , P (A | B) = 131 ;
2)A и С зависимы, P (A) = 131 , P (A |C ) = 1 ;
3)В и С зависимы, P (B) = 12 , P (B |C ) = 1;
4)В и D независимы, P (B) = 12 , P (B | D) = 12 ;
5)С и D зависимы, т. к. несовместны, P (C | D) = 0 .
Ответ: 0,077, 1, 1, 0,5, 0
№ 21
Из семи билетов один выигрышный. Семь человек поочередно вытягивают по одному билету (не возвращая его). Зависит ли
вероятность выигрыша от места в очереди? P1 = 17 , P2 = 67 Ч 16 = 17 , P3 = 67 Ч 56 Ч 15 = 17 и т. д.
Ответ: нет
№ 22
В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найдите вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
Решение:
Рассмотрим события A {первый человек оказался мужчиной}, B {второй человек оказался мужчиной}, C {третий человек ока-
зался мужчиной}.
P (ABC ) = P (A)P (B / A)P (C / AB) = 107 Ч 69 Ч 58 = 0,29.
Ответ: 0,29
119
№ 23 Какова вероятность из колоды в 52 карты достать по очереди
тройку, семерку, туза?
Решение:
Вероятность достать из колоды в 52 карты тройку равна P (A) = 524 ; после этого в колоде останется 51 карта, из которых
4 семерки. Вероятность, что второй картой будет семерка, при условии, что первой была тройка: P (B / A) = 514 . Вероятность
того, что третьей картой будет туз, при условии, что первой и второй были соответственно тройка и семерка:P (C / AB) = 504 .
Итак,P (ABC ) = P (A)P (B / A)P (C / AB) =
= |
4 |
Ч |
4 |
|
Ч |
4 |
= |
64 |
|
» 0,000483 » 4,83Ч10-4. |
|
|
|
|
|
|
|||||
52 |
51 |
50 |
52Ч51 |
Ч50 |
||||||
Ответ: 4,83∙10–4
№ 24 Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Сту-
дент должен ответить на 1 заданный вопрос. Какова вероятность сдать зачет, если после первого вопроса, на который студент не знает ответ, преподаватель задает еще один вопрос из оставшихся?
Решение:
Проще воспользоваться связью между вероятностями противоположных событий. Событие A1 {ответить на первый вопрос}, событие A2 {ответить на второй вопрос}. Событие A1 {не ответить на первый вопрос}, событие A2 {не ответить на второй вопрос}. Студент не сдаст зачет, если не ответит на два вопроса подряд — произойдет событие A1A2 . Вычислим вероятность этого. Он не знает 6 вопросов из 30. Вероятность A1 равна
P (A1 ) = 306 = 15 . При условии, что студент не знает первого во-
проса, в билетах останется еще 5 неизвестных ему вопросов, а всего осталось 29 вопросов. Вероятность не ответить на вто-
120