Chast_10_TV

Каждое из размещений Ai является элементарным событием. 1) Событию А соответствуют элементарные исходы: {A1, A2,...A21},

N(A)	21	= 0,(7) .
N (А) = 21, P (А) = N(W) =	27
2) Событию B соответствуют элементарные исходы:
{A1; A4, A5...A15; A22, A23...A27},
N(A)	19	= 0,70(37).
N (B) = 19, P (B) = N(W) =	27		= 0.
Множество исходов события С пусто, Р (С) = N(C)
		N(W)

Ответ: 0, (7); 0,70 (37); 0

№ 17

Имеется r шаров, которые наудачу размещаются по п ящикам. В одном и том же ящике могут находиться несколько шаров и даже все шары. Найдите формулу для вычисления вероятности того, что в первый ящик попадет ровно r1 шар, во второй —

r2 и т. д. (r1+ r2 + … + rr = r).

а) Вычислите вероятность того, что в один ящик попадет ровно один шар, во второй — два, в следующий — три и т. д., если 10 шаров нужно распределить таким образом по 20 ящикам.

б) Какова вероятность того, что каждый ящик занят, если число шаров равно количеству ящиков и равно семи?

Решение:

Каждый шар может находиться в каждом из п ящиков, значит r шаров можно распределить по ящикам пr различными способами. Числоблагоприятныхисходовподсчитываемследующимобразом: число способов, которыми можно выбрать r1 шаров из r, равно Crr1 , число способов, которыми можно выбрать r2 шара из (r-r1) оставшихся шаров, равно Crr2-r1 и т. д. Все эти числа нужно перемножить. Вероятность равна:

	r1	r2	rn 1	- (r1 + r2 + ... + rn - 2)		r !
P=	Cr	Ч Cr r	... Cr		=
		1
				nr		nr ! ... r !
						n

а) Если 10 шаров нужно распределить по 20 ящикам, то r =10, п = 20. Вероятность того, что в одном ящике будет 1 шар, в другом 2 шара, в следующем — 3 и т. д., равна:

91

	N(A)		C1	ЧC2 ЧC3		ЧC4		10!
P =	N(W) =	10		9	7	4	=		=
				2010				2010 Ч1!2!3!4!
	= 10 Ч9Ч4 Ч7 Ч5				» 8Ч10-41
		2010 Ч2

б) Если число шаров равно числу ящиков, то r = n.

В этом случае N (Ω) = nn. Событие А заключается в том, что каждый ящик занят.

N (А) = n (n -1) … 1, P (A) = N(A) = nn! .

N(W) n

При п =7 вероятность этого равна: Р (А) = 0,00612. Ответ: а) 8∙10–41; б) 0,00612

№ 18

Имеется r шаров, которые размещаются по n ящикам. Найдите формулу для вычисления вероятности того, что фиксированный ящик содержит ровно k шаров.

Какова вероятность того, что при размещении семи шаров по десяти ящикам в одном из них оказалось три шара?

Решение:

r шаров по п ящикам можно разместить n r различными способами: k шаров из r можно выбрать Crk способами, а оставшиеся (r – k) шаров можно разместить в оставшихся (п – 1) ящиках (п – 1) (r – k) способами, поэтому искомая вероятность равна

= N (A) = C k (n -1)r -k

P(A) N (W) r nr

Если 7 шаров размещать по 10 ящикам так, чтобы в одном из них оказалось 3 из них, то вероятность такого разбрасывания равна

P =	7!		=	7Ч 6Ч5	= 35Ч10 10 .
	3! 4! 10	7		7
				3Ч 2Ч10

Ответ: 35∙10–10

№ 19 Случайно размещаем шары по 10 ящикам, пока некоторый

шар впервые не попадет в уже занятый ящик. Найдите вероятность того, что процесс закончится на пятом шаре.

92

Решение:

5 шаров по 10 ящикам можно разложить (с повторениями) 105 способами. Число способов реализации интересующего нас распределения шаров (3 ящика содержат по 1 шару, 1 ящик со-

держит 2 шара, 6 ящиков пустые)

	N (A) = C104 ЧC41 =	10!	Ч	4!	=	10 Ч 9Ч8Ч 7Ч 4	= 840
		4! Ч 6!		3! Ч1!		2Ч3Ч 4

(из 10 ящиков выбираем 4 заполненных, из 4 заполненных выбираем ящик, содержащий 2 шара).

P (A) =	N (A)		840		= 0,0084 .
		=
	N (W)		100000

Ответ: 0,0084

№ 20 Какова вероятность того, что в четырех бросаниях игральной

кости а) единица не появится ни разу; б) единица появится?

Решение:

При	однократном			бросании	p1	=	1	,	q1 = 1- p1 =	5 .
ж	5	ц4	, P				6			6
P (A) = з	6	ч » 0,482		(B) = 1 - P (A) » 0,518 » 0,482 .
и		ш

Ответ: а) 0,482 ; б) 0,518

№ 21

Найдите вероятность того, что при шести бросаниях кости появится 1.

Решение:

6

P = 1 - ж 5 ц » 0,665 .

зи 6 чш

Ответ: 0,665

№ 22

Какова вероятность того, что при шести бросаниях игральной кости выпадут все грани?

Решение:

N (W) = 66 , N (A) = 6! , P (A) = 666! » 0,0154 .

Ответ: 0,0154

93

№ 23 Игральная кость подбрасывается два раза. Какова вероятность

того, что сумма очков 6?

Решение:

Множество исходов опыта содержит 36 элементарных исходов:

W = {{1,1}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,1}, {2,2}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,1}, {3,2}, {3,3}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,1}, {4,2}, {4,3}, {4,4}, {4,5}, {4,6}, {5,1}, {5,2}, {5,3}, {5,4}, {5,5}, {5,6}, {6,1}, {6,2}, {6,3}, {6,4}, {6,5}, {6,6}}.

Событие А {{1,5}, {2,4}, {3,3}, {4,2}, {5,1}}.

6

5

4

3

2

1

1	2	3	4	5	6

Число равновозможных элементарных исходов: N (W) = 36 , число элементарных исходов, соответствующих событию А:

N ( A) = 5 .

По определению вероятности

P ( A) = NN ((WA)) = 365 = 0,13(8).

Ответ: 0,13(8)

№ 24 Бросаются две игральные кости. Какова вероятность выпаде-

ния 1 по крайней мере на одной кости?

94

Решение:

6

5

4

3

2

1

1	2	3	4	5	6

P = 1136 » 0,306 .

Ответ: 0,306

№ 25 Бросили две игральные кости и подсчитали сумму выпавших

очков. Что вероятнее — получить в сумме 7 или 8?

6

5

4

3

2

1

1	2	3	4	5	6

P (7) = 366 , P (8) = 365 , P (7) > P (8) .

Ответ: P (7) > P (8)

№ 26 Найдите вероятность того, что при бросании трех игральных

костей «6» выпадет на одной любой кости, а на двух других выпадут числа, не совпадающие между собой и не равные «6».

95

Решение:

Игру в кости можно рассматривать как размещение r неразличимых (r = 3 кости) шаров

по п (п = 6 цифр) различным ящикам.

Общее число элементарных исходов опыта вида {1, 1, 1}, {1, 1, 2} … и т. д. равно N (Ω) = 63 = 216.

Число исходов, благоприятствующих наступлению интересующего нас события, можно сосчитать непосредственно, если вычислить число исходов вида {6, x, y}, учитывая, что одна цифра фиксирована и среди х, у отсутствует «6»:

6

5

4

3

2

1

		1	2	3	4	5		6
	N (A) = 20,		P(A) =		N(A)		=	20	=		5	=0,093 .
					N(W)			216		54

Ответ: 0,093

№ 27 Найдите вероятность того, что при бросании трех игральных

костей выпадет максимальное число очков.

Решение:

	ж 1		ц3		1	» 0,00463.
	P = з		ч	=
		6			216
	и		ш

Ответ: 0,00463

№ 28 Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность

следующих событий:

A {число одинаково читается как слева направо, так и справа налево};

96

B {число кратно пяти};

C {число состоит из нечетных цифр}?

Решение:

N (W) = 9 Ч10 Ч10 Ч10 Ч10 ; N ( A) = 9 Ч10 Ч10 Ч1Ч1;

N (B) = 9 Ч10 Ч10 Ч10 Ч 2 ; N (C ) = 5Ч5Ч5Ч5Ч5 .

P(A) = 0,01 ; P (B) = 15 =0,5; P (C ) = 1445 =0,035. Ответ: 0,01 ; 0,5; 0,035

№ 29 На пустую шахматную доску случайным образом ставят две ла-

дьи: белую и черную. Какова вероятность того, что они не побьют друг друга?

Решение:

Рассчитаем количество полей, на которых поставленная первой ладья «бьет» другую фигуру. Сделаем схематичный рисунок шахматной доски.

Пусть ладья занимает произвольное поле шахматной доски. «Битых» полей (отмеченных крестиками) 7 по горизонтали и 7 по вертикали, т. е. всего 14. При этом на доске всего 63 свободных поля, из которых

63–14 = 49 — «небитых». P ( A) = NN ((WA)) = 4963 = 79 = 0, (7). Ответ: 0, (7)

97

№ 30 Какова вероятность того, что дни рождения 10 человек различны?

Решение:				) (		)	ж	1	ц	ж	9	ц
		(			365 - 9
P =	365		365	-1 ...			= з1 -		ч...з1 -			ч » 0,8883
				10				365			365
				365			и		ш	и		ш

Ответ: 0,883

№ 31 Найдите вероятность того, что дни рождения 12 человек при-

дутся на разные месяцы года.

Решение:

N(A)	=	12 Ч11Ч10 Ч... Ч1	=	12!		= 3,9	Ч	10	–5	.
P(A) = N(W)		12 Ч12 Ч ... Ч12		1212

12 раз

Ответ: 3,9Ч10–5

№ 32

Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Найдите формулу для вычисления вероятности того, что среди них l выигрышных. Определите вероятность того, что среди 10 билетов 1 выигрышный, если n = 100 , k = 10 , m = 10 .

Решение:

Число способов выбрать m билетов из n равно Cnm , число спо-
собов выбрать l				выигрышных билетов из k равно Ckl , число
способов выбрать m -l невыигрышных билетов из n -l равно
Cnm--kl , что дает				ЧCm-l .
P(A) =	N (A)	=	Сl
	N (W)		k	n-k
			Cm
				n

P(A) = С101 ЧC909 » 0,408.

C10010

Ответ: Сkl ЧCnm--kl ; 0,408

Cnm

98

№ 33

В лотерее n билетов, из которых k выигрывают. Участник лотереи покупает m билетов. Найдите формулу для вычисления вероятности того, что хотя бы один билет выиграет. Определите вероятность того, что среди 10 билетов хотя бы 1 выигрышный, если n = 100 , k = 10 , m = 10 .

Решение:

Событие A {не выиграет ни один билет} противоположно со-

бытию A

{хотя

бы один

билет выиграет}.

С0

ЧCm

Cm

Cm

N(A

)

P(A) =

=

k

n-k

=

n-k

, P(A) = 1 -

n-k

.

N(W)

C

m

m

m

n

C

n

C

n

P(A) = 1 - C9010 » 0,67 .

C10010

1 -Cnk m , Cnk

Ответ: 0,67

№ 34

Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно соответственно

ni (i = 1, 2, 3, 4). Для контроля наудачу берутся т изделий. Найдите формулу для вычисления вероятности того, что среди них т 1 — первосортных, т 2, т 3 и т 4 — второго, третьего и четвертого сорта соответственно. Определите вероятность этого, если n1 = 2,

n2 = 3, n3 = 1, n4 = 3; m1 = 2, m2 = 1, m3 = 0, m4 = 2. Решение:

Событие А {среди взятых для контроля т изделий т1 первосортных, т 2, т 3 и т 4 — второго, третьего и четвертого сорта соответственно}.

m = m1 + m2 + m3 + m4 — число изделий, взятых для контроля; n = n1 + n2 + n3 + n4 — общее количество изделий.

Число способов взять т изделий из п равно

N (Ω) = Cnm .

Количества способов выбрать для контроля m1изделий первого, m1 второго и т. д. сорта из имеющихся равны соответствен-

но Cnm11 , Cnm22 , Cnm33 , Cnm44 .

99

Тогда

N (A) =Cnm1 Cnm2 Cnm3 Cnm4								,
		1	2	3			4
P (A) =		N( A)		=	Cnm1Cnm2Cnm3Cnm4								.
		N (W)					1		Cnm		3	4
								2
Если n1		= 2, n2		= 3, n3 = 1, n4 = 3;m1 = 2, m2 = 1,
m3 = 0, m4 = 2, то
P (A) =	C 2		C1C 0C 2				=	9			=	0,063.
		2	3	1 3
			C5					126
			9

Ответ: 0,063

№ 35 32 карты распределяются между тремя игроками по 10 карт,

две — «в прикупе». Какова вероятность того, что в прикупе окажутся два туза?

Решение:

Число комбинаций по две карты из 32, которые могут быть в прикупе, N (Ω) = C322 .

Так как в колоде 4 туза, число комбинаций, дающих 2 туза,

равно N (A) =C42 .
P (A) =	N( A)	=	C42	=	4!	Ч	2! 30!	=	6	= 0,012.
	N (W)		2		2!2!		32		496
			C32

Ответ: 0,012

№ 36 Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента

по очереди берут по одному билету. Найдите вероятности событий:

а) А — первый взял «хороший» билет; б) В — оба взяли «хорошие» билеты.

Решение:

Общее число исходов опыта равно числу возможностей взять последовательно два билета из 25:

N (Ω) = A252 = 25 ∙24.

Число способов, которыми могут осуществиться события А и В, соответственно равны

100