Chast_10_TV

№ 4

В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш по 1000 руб., 10 выигрышей по 100 руб. и 100 выигрышей по 1 руб. при общем числе билетов, равном 10000. Найдите закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета и математическое ожидание выигрыша.

Решение:

Запишем закон распределения случайного выигрыша X.

Xi	1000 руб.	100 руб.	1 руб.	0 руб.
pi	0,0001	0,001	0,01	0,9889

Найдем математическое ожидание выигрыша

N

M (X ) = еXi pi ,

i=1

M (X ) = 1000 Ч 0,0001 +100 Ч 0,001 + +1Ч 0,01 + 0 Ч 0,9889 = 0,21(руб.)

Ответ: 0,21 руб.

№ 5

Найдите математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпавших при бросании игральной кости.

Решение:

Запишем закон распределения случайного выигрыша X

Xi	1		2	3		4	5		6
pi	1		1	1		1	1		1
	6		6	6		6	6		6
Математическое ожидание
M (X ) = 16 (1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5.
ДисперсияD (X )						N
					= е(Xi - M (X ))2 Ч pi
						i=1
		N					1 й(1 - 3,5)2 + (2 - 3,5)2 + (3 - 3,5)2 +
D (X ) = е(Xi - 3,5)2 1 =
		i=1			6		6 л
+(4 - 3.5)2 + (5 - 3,5)2 + (6 - 3,5)2									ыщ » 2,92.

Ответ: 3,5; 2,92

141

№ 6

Даны две независимые случайные величины X — число появлений герба при двух подбрасываниях пятикопеечной монеты

иY — число очков, выпавших при бросании игральной кости. Найдите законы распределения, математические ожидания

идисперсии случайных величин X, Y и X —Y.

Решение:

X		0			1		2
p		1			1		1
		4			2		4		) = 12 .
M (X ) = 1, D(X
Y	1			2			3	4				5		6
p	1			1			1	1				1		1
	6			6			6	6				6		6
M Y		)	= 3,5; D Y							)		=	35		» 2,91667		.
(								(					12

На рисунке приведено пространство исходов для с. в. Х -Y :

2	1	0	–1	–2	– 3	–4
1	0	–1	–2	–3	– 4	–5
0	–1	–2	–3	–4	– 5	–6
	1	2	3	4	5	6

Y

Ряд распределения

Х -Y	-6			-5	-4	-3	-2	-1	0	1
p		1		1	1	1	1	1	1		1
	18			9	6	6	6	6	9	18

Математическое ожидание

M (X -Y ) = M (X ) - M (Y ) = 1 - 3,5 = -2,5, дисперсия

D (X -Y ) = D (X ) + D (Y ) =» 3,41667 .

142

№ 7

При каком значении a функция	f (x ) =	a	(-Ґ < x < Ґ) яв-
		1+ x2

ляется плотностью вероятности случайной величины Х? Найдите функцию распределения и вероятность попадания случайной величины в интервал [-1,1].

Решение:

Ґ		dx =1 Ю a = 1À.
-тҐ	a
	1+ x2
F (x) =		1 Ґ	dx		1		1
		À т		=		+	Àarctg x .
			1+ x2		2
		-Ґ

P (-1 Ј x Ј 1) = F (-1) - F (1) = 12 .

№ 8

Найдите математическое ожидание, моду, медиану и дисперсию случайной величины X с плотностью распределения

м0, x < 0,

п

f (x ) = пн32 x - 92 x 2, 0 Ј x Ј 3,

п

п0, x > 3.

о

Решение:

3	ж	2		2			ц	й	2x3		x4	щ	3		9		3
						2
M (X ) = т x з			x -		x		чdx = к			-		ъ		= 6 -		=		.
		3		9					9		18				2		2
0	и						ш	л				ы0

Моду определим из условия f ў(x ) = 0 . Тогда

2	4											3
3 -	9 x = 0 , откуда Мо(X ) = x										=	2 .
Медиану находим из условия													(Me)2					(Me)3
Me ж	2	x -	2		2	ц	й x2			2x3 щMe						-	2		=	1	, откуда
з				x		чdx = к			-	ъ	=
т0 и	3		9			ш	л	3		27 ы0				3				27		2
(Me)1 =			3	, (Me)2			=	3 (1+ 3), (Me)3 =							3	(1- 3).
			2					2							2

143

Из трех полученных значений в интервал [0,3] попадает только 1,5.

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

–1

0

1

2

3

4

Так как график плотности распределения симметричен относительно прямой x = 32 , для данной случайной величины мате-

матическое ожидание, мода и медиана совпадают.

	(		)			3			ж 2				2			ц					(		)ы	2
D		X			=	т	x	2			x -			x	2		dx			л		X
									з							ч
									и 3				9			ш			- йM				щ =
						0
=	й x4				-	2x5			щ3	=		27	-	9		=		9		.
	к								ъ
		6				45						10		4				20
	л								ы0

Ответ: 1,5

№ 9

Случайная величина X в интервале (0;5) задана плотностью распределения f (x ) = 252 x ; вне этого интервала f (x ) = 0 . Най-

дите числовые характеристики величины X (моду, медиану, математическое ожидание и дисперсию).

Решение:

0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0	–1	0	1	2	3	4	5	6

144

Ответ:

Найдем математическое ожидание величины X Для непрерывной случайной величины

		(		)		+Ґ			(	)	,
					=	т
	M		X				xf			x dx
						-Ґ
	M (X )					5		2				2		x3			5	10 .
					= т x					xdx =			Ч				=
								25				25
						0							3				0	3

Найдем также математическое ожидание величины X 2 :

5	5	2		2 x4					5		25 .
M (X 2 ) = т x2 f (x)dx = т x2			xdx =							=
0	0	25		25 4					0		2

Для дисперсии случайной величины воспользуемся формулой

D(X ) = M (X				2	) - M			(X ) ,			D(X ) =			25		ж	10 ц2		25	.
														2	- з		ч	=	18
																и	3 ш
Медиана						Me		(		)	2
Me	2	й	x	2	щ				Me			1				5	2 .
													, Me =
		xdx = к			ъ		=				=
т0 25
		л	25		ы0				25			2				2

Мода — значение величины, при котором плотность достигает максимума. Из графика видно, что максимум достигается на краю, Mo = 5 .

25

18

№ 10

Дискретная случайная величина X задана законом распределения

Xi 2 4 7 pi 0,5 0,2 0,3

Найдите функцию распределения F (x) и начертите ее график.

Решение:

Если x Ј 2 , то F (x) = 0 .

Если 2 < x Ј 4 , то F (x) = 0,5. Если 4 < x Ј 7, то F (x) = 0,7 .

Если x > 7 , то F (x) = 1.

145

Y

1

0,7

0,5

X

2 4 7

м0, x Ј 2,

п0,5, 2< x Ј 4,

F (x) = п

нп0,7, 4< x Ј 7, по1, x > 0,7.

№ 11

Дискретная случайная величина X задана законом распределения

Xi 2

3

5

pi 0,1 0,4 0,5

Найдите начальные моменты первого, второго и третьего порядков.

Решение:

Начальные моменты первого, второго и третьего порядков равны соответственно

N

ai = еXki pk k =1

a1 = 2Ч0,1+ 3Ч0,4 + 5Ч0,5 = 3,9 ,

a2 = 22 Ч0,1+ 32 Ч0,4 + 52 Ч0,5 = 16,5, a3 = 23 Ч0,1 + 33 Ч0,4 + 53 Ч0,5 = 74,1.

Ответ: 3,9, 16,5, 74,1

№ 12 Дискретная случайная величина задана законом распределения

Xi	1	2	4
pi	0,1	0,3	0,6

Найдите центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

146

Решение:

Начальные моменты

a1 = 1Ч0,1+ 2Ч0,3 + 4 Ч0,6 = 3,1,

a2 = 12 Ч0,1+ 22 Ч0,3 + 42 Ч0,6 = 10,9, a3 = 13 Ч0,1+ 23 Ч0,3 + 43 Ч0,6 = 40,9, a4 = 14 Ч0,1+ 24 Ч0,3 + 44 Ч0,6 = 158,5.

Центральный момент первого порядка m1 = 0 . Центральные моменты

m2 = a2 - a12 =10,9 - 3,12 =1,29,

m3 = a3 - 3a1a2 - 2a13 = 40,9 - 3Ч3,1Ч10,9 + 2Ч3,13 = -0,888,

m4 = a4 - 4a3a1 + 6a2a12 - 3a14 =

=158,5 - 4 Ч40,9Ч3,1+ 6Ч10,9Ч3,12 - 3Ч3,14 = 2,7777.

Ответ: 0, 1,29, –0,89, 2,78

№ 13
Случайная			величина	X	задана		плотностью распределения
f (x ) = 0,5x			в интервале		(0;2) ; вне этого интервала f (x ) = 0.
Найдите начальные и центральные моменты первого, второго,
третьего и четвертого порядков.
Решение:
Начальные моменты для непрерывной случайной величины
вычисляются по формуле
	+Ґ
ak = т xk f (x )dx .
	-Ґ
Найдем начальные моменты
	2	1 xdx = 4 ,			2	1 xdx = 2,
a1	= т x Ч			a2	= т x2 Ч
	0	2	3		0	2
	2			2
a3	= т x3 Ч 1 xdx = 3,2, a4			= т x4 Ч 1 xdx = 16 .
	0	2		0	2		3

Центральные моменты m1 = 0 , m2 = a2 - a12 = 92,

147

m3 = a3 - 3a1a2 + 2a13 = -1358 ,

m4 = a4 - 4a1a3 + 6a2a12 - 3a14 = 13516 .

Ответ: 4/3; 2; 3,2; 16/3; 0; 2/9; –8/135; 16/135

№ 14

Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [2;8]. Запишите плотность вероятности f (x ) , найдите математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение:

1) Для равномерного распределения на отрезке [2;8] плотность распределения вероятности имеет вид

мa, x О(2;8), f (x ) = п

нп0, x П(2;8).

о

При этом должно выполняться условие нормировки

	8
1 = т f (x)dx = a Ч6 Ю a = 1 . Поэтому окончательно
	2				6
	м1 ,	x О(2;8),
f (x ) = нп6		x П(2;8).
	п
	о0,
		8	1 dx =			1 x2				8
2)	M (X ) = т x									= 5.
						6 2
		2	6							2
3)		8		2	1					1 (x -		5)	3		8
	D (X ) = т(x - 5)				6	dx =			6		3				= 3.
		2													2

4)s(X ) = 3 .

Ответ: 5; 3; 3

148

№ 15 Известно, что вероятность выхода из строя лампочки в тече-

ние n дней, пропорциональна n (равна kn) независимо от величины х дней, которые лампа проработала до интервала времени [x,x + n]. Найдите функцию распределения времени работы лампы.

Решение:

Х — время работы лампы. F (x) = 1 - P (X і x) .

ПустьS (t ) = P (X і t ),тогдаS (t + n) = P (X і t + n) = P (X і t )(1 - kn).

Отсюда S (t + n) = S (t ) - S (t )kn, S ў(t ) = -kS . По условию S (0) = 1. Таким образом, S (t ) = e-kt , F (x) = 1 - P (X і x) = 1 - e-kx .

№ 16 После ответа на вопросы билета экзаменатор задает до-

полнительные вопросы. Дополнительные вопросы прекращаются, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой дополнительный вопрос, равна 0.9. Составить закон распределения числа дополнительных вопросов.

Решение:

P = 0,9n-1 Ч 0,1
n
x	1		2	3	…	n
p	0,1		0,09	0,081	…	0,9 n–1·0,1

№ 17 Постройте ряд распределения и функцию распределения слу-

чайного числа попаданий мячом в корзину при одном броске, если вероятность этого события p = 0,3 .

Решение:

	м0, x Ј 0,
F (x) = нп0,7, 0 < x Ј 1,
	п		> 1.
	о1, x
Х	0		1
p	0,7		0,3

149

№ 18 На пути движения автомашины четыре светофора. Каждый из

них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает машине дальнейшее движение. Постройте ряд распределения вероятностей числа светофоров, пройденных автомашиной без остановки.

Решение:

X — случайное число светофоров, пройденное автомашиной без остановки

pi		пм p (1 - p)i , i = 0,1,2,3
	= н		- p)4 , i = 4.
		п(1
		о
X		0	1	2	3	4
p		0,5	0,25	0,125	0,0625	0,0625

№ 19 Длина изготовляемой автоматом детали представляет собой

случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами a =10, s2 = 2001 . Найдите вероятность брака,

если допустимые размеры детали должны быть 10± 0,05

Решение:

Вероятность того, что деталь удовлетворяет допустимым размерам, равна

ж 10,05		-10	ц	ж 9,95 -10		ц	=
P (9,95 < ¼< 10,05) = Fз	s		ч	- Fз	s	ч
и			ш	и		ш

(где F(x ) =		1	x
			т0 e-t 2 /2dt — специальная функция)
		2p
= F(0,05Ч10		2 )- F(-0,05Ч10 2 ) = 2F(0,707) » 0,55.

Вероятность того, что деталь бракованная, равна

1- P (9,95 < m < 10,05) = 0,4412 .

Ответ: 0,44

№ 20

Случайная величина X имеет нормальное распределение с па-

раметрами	a = 0,	s =1	. Что больше		(	) или
				P		-0,5 Ј X Ј -0,1

P (1 Ј X Ј 2) ?

150