Chast_10_TV

№ 3

Что вероятнее выиграть у равного по силе противника:

а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?

Решение:

а) В схеме повторных независимых испытаний Бернулли вероятность того, что событие с вероятностью p произойдет три раза из четырех, равна P4 (3) =C43 p3 (1- p)4-1 . При игре в шахматы с равным по силе партнером вероятность выиграть в от-

дельной партии p = 12 .

Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле

Cnm =

n!

,

m!(n - m)!

3

4!

1Ч 2Ч3Ч 4

ж 1

ц4

1

C4

=

=

= 4

, P4

(3) = 4 Ч з

ч

=

.

3! (4 - 3)!

1Ч 2Ч3Ч1

2

4

и

ш

Аналогично C85 =											8!		= 1Ч 2Ч3Ч 4 Ч5Ч 6Ч 7Ч8									= 56,
										5! 3! 1Ч 2Ч3Ч 4 Ч5Ч1Ч 2Ч3
P8 (5) = 56			ж	1 ц8		=	7				. Так как						1	>	7		Ю P4 (3) > P8		(5) ;
			з		ч
				2			32										4		32
			и		ш
P	+ P			= 1		+		1			=	5		= 0,31 <
4,3		4,4			4		16				16										.
б)
															93
< P		+ P			+ P				+ P				=				= 0,368
8,5			8,6			8,7					8,8		253

Ответ: а) три из четырех; б) не менее пяти из восьми

№ 4

Найдите вероятность того, что при 5 бросаниях монеты «орел» выпадет не менее 1 раза.

Решение:

События {орел выпадет не менее 1 раза} и {орел не выпал ни разу} — противоположные. Поэтому искомая вероятность

	5	0		0		5		5!	ж	1	ц0	ж	1	ц5		1		31	.
P = 1- q		= 1-C5	Ч p		Чq		=		Чз ч			Чз ч			= 1 -		=
								0!Ч5!								32		32
		31							и	2	ш	и	2	ш
Ответ:
		32

131

№ 5

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что из 5 выстрелов будет:

а) не менее четырёх попаданий; б) не более трёх попаданий;

в) не менее одного и не более трёх попаданий.

Решение:

а) n = 5, m2 = 4, p = 4 , q =			1 .
		5	5
P5 (4 Ј m Ј 5) = P5 (4) + P5 (5)						5!	ж	4 ц4	ж 1		ц1
			=				Чз	ч	Чз		ч +
					4!Ч1!					5
							и	5 ш	и		ш
ж	4 ц5
+ з	ч = 0,73728
и	5 ш
б)	n = 5, m1 = 3, p = 4 , q =		1 .
		5	5
P5 (0 Ј m Ј 3) = 1- P5 (4) - P5 (5) =
= 1- 0,73728 = 0,26272
в) m1 = 1, m2 = 3, n = 5, p =				4		, q =		1 .
				5				5
P5 (1 Ј m Ј 3) = P (0 Ј m Ј 3) - P5 (0) =
	ж 1	ц5
= 0,26272 - з		ч = 0,2624
	и 5	ш

Ответ: а) 0,73728; б) 0,26272; в) 0,2624.

№ 6

Найдите вероятность наступления события А шесть раз в серии из 500 испытаний, если вероятность наступления этого события в одном испытании равна 0,006.

Решение:

	1	ж m - np ц
Pm,n »		jз		ч
	npq	з	npq	ч
		и		ш

132

P6,500 »			1			ж		6 - 500 Ч 0,006	ц	=
						jз			ч
				500 Ч 0,006Ч 0,994		з		500 Ч 0,006Ч 0,994	ч
						и			ш
»	1			j(1,737) » 0,58	Ч 0,0878			= 0,0516.
		1,727

Ответ: 0,0516

№ 7

Найти вероятность наступления события А четыре раза в серии из семи независимых испытаний, если вероятность наступления этого события в одном испытании равна 0,45. Решение:

p = 0,45; q = 1 - p = 0,55.

Pn (x = m) =Cnm pmqn-m P7 (4) = C74 p4q3 = 35Ч(0,45)4 (0,55)3 » 0,2387.

Ответ: 0,2387

№ 8

Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из 5 посеянных растений взойдут не менее 4?

Решение:

P =C50 (0,2)0 (0,8)5 +C51 (0,2)1 (0,8)4 » 0,737.

Ответ: 0,737

№ 9

В сентябре в некоторой местности в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?

Решение:

В сентябре 30 дней, следовательно, вероятность того, что день окажется дождливым, p = 1230 , тогда q = 1 - p = 1830 . Вероят-

	ность того,			что		3	дня окажутся дождливыми, равна
	3	ж 12	ц3	ж 18	ц5		8!		63 Ч 93
	P8 (3) = C8	з	ч	з	ч	=		Ч	8 » 0,278.
							5! 3!
		и 30	ш	и 30	ш				15

Ответ: 0,278

133

№ 10 Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор

в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 4 абонента?

Решение: P (x = 4) = (np)4 e-np = 34 e-3 » 0,17 .

4! 4!

Ответ: 0,17

№ 11 Имеется общество из 500 человек. Найдите вероятность того,

что у двух человек день рождения приходится на 31 декабря, считая, что вероятность рождения в определенный день равна

3651 .

Решение:

Вероятность того, что два человека родились в один и тот же день года

	2	ж	1	ц2	ж 364		ц498		500!		364498
	P500 (2) = C500	з		ч	з		ч	=		Ч	500 .
			365			365			2! 498!
		и		ш	и		ш				365

Вычисления затруднительны, поэтому воспользуемся формулой Пуассона, дающей хорошее приближение при npq Ј 9 :

Pn (m) » »me »

, где » = np,

q = 1 - p .

m!

Здесь npq = 500 Ч

1

Ч

364

» 1,36 < 9 .

365

365

P500 (2)

»

(np)m e

-np

ж 500

ц2

e

-500/365

Ч

1

=

m!

= з

365

ч

2

(

)

и

ш

2 e-1,36

Ч 1

= 1.36

» 0,2385

2

Значение функции »me-» можно было найти по таблице при m!

» = 1,36 и m = 2 .

Ответ: 0,24

134

№ 12 Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность от-

каза одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и не менее двух элементов за год?

Решение:		(np)m
P (x = m) =			e	-np , np = 1,
		m!
P (x = 2) =	12			1	» 0,184 ,
		2! e-1 =
				2e
		Ґ				2
P (x і 2) = еPm = 1- P0 - P1 = 1-							» 0,264 .
	m=2					e

Ответ: 0,264

№ 13 Вероятность поражения цели стрелком при одиночном вы-

стреле p = 0,2 , какова вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20 раз?

Решение:

По локальной теореме Муавра – Лапласа

Pn (m) »	1			j		(х) ,	х = m - np
	npq						npq
где j(х) =			1			e- х2 /2	— специальная функция,
			2À
ее значения табулированы.
Здесь p = 0,2, q = 0,8, n = 100, m = 20 ,
npq =	100 Ч 0,2Ч 0,8 = 4 , х =							20 -100 Ч 0,2	= 0 , j(х) = 0,3989 по та-
блице P100 (20) » 0,1.								4

Ответ: 0,1

№ 14 По данным ОТК 0,8 всего выпуска изделий не имеет дефектов.

Вычислите вероятность того, что среди наудачу отобранных 400 изделий ровно у 80 будут дефекты.

Решение:

n = 400; m = 80; p = 0,2; q = 0,8.

135

Воспользуемся приближенной формулой Pn (m) » 1 Ч j(x), npq

P400 (80) »

1

ж

80 - 400 Ч 0,2

ц

m - np

Ч jз

ч

»

где x =

.

400 Ч 0,2Ч 0,8

з

400 Ч 0,2Ч 0,8

ч

npq

и

ш

1

Ч j(0) »

1

»

Ч 0,3989

» 0,04986.

8

8

Ответ: 0,04986

№ 15 Всхожесть семян данного растения — 70  %. Найдите вероят-

ность того, что из 2000 посаженных семян взойдут 1500.

Решение:

n = 2000; m = 1500; p = 0,7; q = 0,3 .

Воспользуемся приближенной формулой Муавра – Лапласа

P2000		(1500) »				1		Ч j(x) ,
						Ч 0,7Ч 0,3
			2000
где			1			» 0,049 ,
		2000 Ч 0,7Ч 0,3
x = m - np			= 1500 - 2000 Ч0,7					» 4,88,
		npq		2000 Ч0,7Ч0,3
j(4,88) < 0,00001.
P2000		(1500) < 0,00001 .

Ответ: 0,00001

№ 16 Испытывается каждый из 15 приборов. Вероятность того, что

прибор выдержит испытание, равна 0,9. Найдите наивероятнейшее число приборов, которые выдержат испытания.

Решение:

По условию n = 15, p = 0,9, q = 0,1 .

np - q Ј m0 Ј np + p , 15Ч0,9 - 0,1 Ј т0 Ј 15Ч0,9 + 0,9,

13,5 Ј т0 Ј14,4Ю т0 = 14 .

Ответ: 14

136

№ 17 Вероятность изделию оказаться бракованным равна 0,005.

Найти вероятность того, что из 10 000 наугад взятых изделий бракованных окажется не больше 70.

Решение: 0 Ј m Ј 70

Pn (k1 Ј m Ј k2 ) » F(x2 ) - F(x1 ) ,

где	x1		= k1 - np , x2 = k2 - np .
			npq	npq
x1 =			0 -10000 Ч0,005		» -7,09	, x2	=	70 -10000 Ч 0,005	» 2,84.
								49,75
		10000 Ч0,005Ч0,995

F(2,84) » 0,49774 , F(-7,09) » 0,5.

P10000 (0 Ј m Ј 70) » 0,49774 + 0,5 = 0,99774 .

Ответ: 0,99774

№ 18 Всхожесть семян данного сорта растения 0,9. Найдите вероят-

ность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830.

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Муавра – Лапласа

P (m1	ж m - np ц			ж m - np ц			,
	< m < m2 ) » F* з	2	ч	- F* з	1	ч
	з	npq	ч	з	npq	ч
	и		ш	и		ш

где F* (x ) = 1 тx e-t 2 /2dt .

2À-Ґ

Функция F* (x) удовлетворяет соотношению F* (-x) = 1- F* (x).

Здесь n = 900,				p = 0,9, q = 0,1	,
npq =		900 Ч 0,9Ч 0,1 = 9 , np = 810.
ж 830 - 810 ц				ж 790	- 810 ц		= F(-2,22);
Fз	9	ч	= F(2,22); Fз		9	ч
и		ш		и		ш

P (790 < m < 830) » F(2,22) - F(-2,22)» 2F(2,22) = 2Ч 0,4868 = 0,9736

Ответ: 0,97

137

№ 19 Какова вероятность того, что в столбике из 100 монет, ото-

бранных наугад, число монет, расположенных «гербом» вверх, будет от 45 до 55?

Решение:

Здесь n = 100, p = q = 12 .

ж

45 -100

Ч

1

ц

ж

55 -100

Ч

1

ц

з

2

ч

(

) ,

з

2

ч

( ) ,

F =

з

ч

= F

F =

з

ч

з

1

1

ч

-1

з

1

1

ч

= F 1

100

Ч

Ч

100

Ч

Ч

з

2

2

ч

з

2

2

ч

и

ш

и

ш

P (45 Ј x Ј 55) = F(1) - F(-1) = 2F(1) » 2Ч 0,3413 = 0,6826

Ответ: 0,68

№ 20 Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того,

что число очков, кратное 3, выпадет 267 раз?

Решение:

1

ж m - np ц

,

Pm,n »

jз

ч

npq

з

npq

ч

и

ш

ж

Ч

1

ц

1

з 267 - 800

3

ч

3

ж

1

ц

jз

ч

=

P207,800 »

jз

ч

=

1

2

1

2

40

40

800 Ч

Ч

з

800 Ч

Ч

ч

и

ш

3

3

з

3

3

ч

и

ш

= 0,075j(0,025) » 0,075Ч 0,3989 = 0,0299.

Ответ: 0,03

№ 21 Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того,

что число очков, кратное трем, выпадет не менее 260 и не более 274 раз?

Решение:

е	ж b - np ц		ж a - np ц		,
	Pm,n » Fз	ч	- Fз	ч
	з	ч	з	ч
aЈmЈb	и	npq ш	и	npq ш

138

еPm,800 » F(0,55)- F(-0,5) » 0,208 + 0,191 »

260ЈmЈ274

» 0,4

Ответ: 0,4

7. Случайные величины и их характеристики. Законы распределения. Основные определения и формулы

7.1. Числовые характеристики случайных величин

№ 1

Вероятность попадания стрелком в мишень равна 32 . Стрелок

сделал 15 выстрелов. Случайная величина X — число попаданий в мишень. Найдите числовые характеристики (моду, математическое ожидание, дисперсию, СКО) числа попаданий и вероятность того, что случайная величина X примет значение, отличающееся от математического ожидания не более чем на СКО.

Решение:

Интересующая нас величина распределена по биномиальному закону: Pn(X = k) = Cnk pk Ч(1 - p)n-k .

0,25
0,2
0,15
Pk
0,1
0,05
0																						0
0	1	2	3	4	5	6	7		8	9		10		11	12	13	14		15
							k														0	0,00000007
На графике приведен полигон распределения.																					1	0,00000209
																					2	0,00002927
Мода распределения X = 10.																					3	0,00025368
Математическое ожидание M (X )														= np = 15Ч				2	= 10,		4	0,00152207
																					5	0,00669710
																		3			6	0,02232365
																				=	7	0,05740368
										2		1		10							8	0,11480735
Дисперсия D (X ) = npq =
									15Ч		Ч		=		,						9	0,17588921
										3		3		3							10	0,21430705
																					11	0,19482460
																					12	0,12988306
СКО	(	)	=	10	»	1,826		.													13	0,05994603
	Ã X			3																	14	0,01712744
																					15	0,00228366

139

Промежуток [M - s; M + s] = [8,174; 11,826] содержит три значения X: 9,10,11.

11 (		)		(		)		(		)		(		) .
P(M	X		- s		X		Ј X Ј M		X		+ s		X	) =

= еPk = 0,5877.

k=9

№ 2

Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых 10 дефектных, выбраны случайным образом 5 изделий для проверки их качества. Постройте ряд распределения случайного числа дефектных изделий среди пяти выбранных.

Решение:

Так как число дефектных изделий в выборке может быть любым целым числом от 0 до 5 включительно, то возможные значения случайной величины равны: 0,1,2,3,4,5.

Вероятность того, что в выборке окажется ровно k

(k = 0,1,2,3,4,5) дефектных изделий, равна:

		CkC5-k
Pk (X = k) =			10	90		.
			C	5
		100
xi		0			1		2	3	4	5
p	0,584				0,339		0,07	6,384 Ч10-3	2,51Ч10-4	3,347Ч10-6
i

№ 3

4 изделия испытываются при перегрузочных режимах. Вероятности для каждого изделия пройти испытание равны 0,8. Испытания заканчиваются после первого же изделия, не выдержавшего испытания. Постройте ряд распределения числа испытаний.

Решение:

P (x = k) =	1	ж	4	цk -1
	5	Ч з	5	ч .
		и		ш

Xi	1	2			3	..…	k
pi	1		4		42	……	4k-1
	5	52			53		5k

140