Chast_10_TV

8.НСВ Х распределена по показательному закону с пара метром l = 0,6. Найти вероятность того, что в результате испы тания НСВ Х примет значение, лежащее на интервале (2; 5).

9.ДСВ Х — число солнечных дней в году для данной мест ности. Установлено, что M[X ]= 100 дней, s[X ] = 20 дней. Оце

нить сверху вероятность события A = (X і 200) .

10. В квадрате 0 Ј x Ј p2 ;0 Ј y Ј p2 задана двумерная плотность

вероятности системы двух СВ: p(x, y) = cos x Ч cos y ; вне квадра та p(x, y) = 0 . Найти вероятность попадания точки (x, y) в ква

драт 0 Ј x Ј p4 ;0 Ј y Ј p4 . Вариант 25

1.Получить закон распределения для числа мальчиков

всемье с тремя детьми, считая вероятности рождения мальчи ка и девочки одинаковыми. Построить график функции рас пределения.

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ x — число мальчиков.

3.Испытания образца композита на прочность проводят ся до разрушения образца. Вероятность разрушения образца

вкаждом испытании равна 0,15. Определить математическое ожидание ДСВ x — число испытаний. Вычислить вероятность того, что образец разрушен при четвертом испытании.

4.Плотность распределения НСВ Х задана на всей оси Ох

равенством	p(x) =	4C	. Найти постоянную С, функцию рас
		1 + x2

пределения и вероятность выполнения неравенства x Ј 0 .

м1 ; x О[1;3]

5. Задана плотность распределения НСВ Х p(x) = пн2 .

по0; x П[1;3]

Определить медиану, начальные и центральные моменты НСВ первого и второго порядка.

6. НСВ Х распределена стандартным образом. Определить вероятность выполнения неравенства 1 < x < 3 .

231

7.В условиях задачи 6 найти длину интервала, симметрич ного относительно математического ожидания, в который

свероятностью 0, 9950 попадет НСВ Х в результате испытания.

8.Студент помнит, что плотность показательного распре

деления вроде бы имеет вид	м0, x < 0	, однако забыл,
	p(x) = н
	оle±Cx , x і 0

чему равно С, и понимает, что вместо ± нужно выбрать какойто один знак. Как решить эти два вопроса?

9.Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,45. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить веро ятность того, что число X появлений события будет заключено

впределах от 400 до 500, если будет проведено 1000 испытаний.

10.В первом квадранте задана двумерная плотность распре

деления вероятности системы двух СВ: p(x, y) = ln2 3Ч3- x - y ; вне квадранта p(x, y) = 0 . Найти вероятность попадания случайной точки (x, y) в прямоугольник 0 Ј x Ј1;0 Ј y Ј 3 .

232

11. ПРИМЕР ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольная работа № 1

Непосредственный подсчет вероятностей

Вариант № 1

1.На стол бросается кубик, две грани которого окрашены. Какова вероятность того, что кубик упадет на стол окрашен ной гранью?

2.В урне a белых и b черных шаров (a і 2;b і 3). Из урны вынули сразу пять шаров. Найти вероятность того, что два из них будут белыми, три — черными.

3.Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с дефек тами, берут наудачу три детали. Чему равна вероятность того, что все три детали будут без дефектов?

4.Из последовательности целых чисел от 1 до 10 наудачу выбирают два числа. Чему равна вероятность того, что одно из них меньше шести, а другое больше шести?

5.На шести одинаковых карточках написаны буквы А, В, К, М, О, С. Карточки перемешиваются и раскладываются на угад в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово «МОСКВА»?

Вариант № 2 1. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему пятиз

начного номера телефона. Какова вероятность того, что он на берет нужный номер, если последнюю цифру наберет наугад?

233

2.Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

3.Собрание, на котором присутствуют 25 человек, из них 5 женщин, выбирают делегацию из трех человек. Найти вероят ность того, что в делегацию войдут две женщины и один муж чина.

4.На шести одинаковых карточках написаны числа 2,4,7,8,12,14. Наугад берутся две карточки. Какова вероятность того, что дробь, полученная из двух выбранных чисел, сокра тима?

5.Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «КНИ ГА». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него получится слово «КНИГА».

Вариант № 3 1. Куб, все грани которого окрашены, распилен

на 125 одинаковых кубиков. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь три окрашенных грани.

2.В первом ящике находятся шары с номерами: 1,2,3,4,5. Во втором ящике — шары с номерами: 6,7,8,9,10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Найти вероятность того, что сумма их номеров равна 11.

3.Из колоды в 36 карт наугад выбирают три карты. Какова вероятность того, что среди них окажется два туза.

4.В коробке имеется пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлекают два изделия. Най ти вероятность того, что среди них окажется одно окрашенное изделие.

5.В мешочке имеется пять одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному

ирасположенных одну линию кубиках можно будет прочитать слово «СПОРТ».

Вариант № 4 1. В урне 12 шаров: три белых, четыре черных и пять крас

ных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?

234

2.Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номе рами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры пять.

3.В группе 12 студентов, из них 8 отличников. По списку наугад отобрали 9 студентов. Найти вероятность того, что сре ди отобранных студентов окажется 5 отличников.

4.Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с дефек тами, берут наудачу три детали. Чему равна вероятность того, что среди них две детали будут без дефектов?

5.В коробке содержится шесть одинаковых занумерован ных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики из ко робки. Найти вероятность того, что номера извлеченных куби ков появятся в возрастающем порядке.

Вариант № 5

1.В ящике 50 одинаковых деталей, из них пять окрашены. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.

2.Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, а произведе ние — равно четырем.

3.Устройство содержит пять радиоламп, из которых две

сдефектом. При включении устройства случайным образом включаются две лампы. Найти вероятность того, что включен ными окажутся лампы без дефектов.

4.Из 15 билетов выигрышными являются четыре. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу шести билетов ока жутся два выигрышных?

5.На отдельных карточках написаны цифры: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Все девять карточек тщательно перемешаны, после чего наудачу берут четыре из них и раскладывают в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность того, что при этом получится число 1234?

235

Контрольная работа № 2

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вариант № 1

1.В ящике находятся катушки четырех цветов: белых кату шек — 50 %, красных — 20 %, синих — 10 %, зеленых — 20 %. Какова вероятность того, что взятая наудачу катушка окажется зеленой или синей?

2.В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрышей. Некто приобрел два би лета. Какова вероятность выиграть по первому билету деньги, а по второму — вещи?

3.Монета бросается до тех пор, пока два раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятность того, что опыт окончится до шестого бросания.

4.Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и вто рого орудий соответственно равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность попадания в цель при одном залпе хотя бы одним из орудий.

5.В урне находятся пять белых, четыре черных и три синих шара. Наугад вынимают три шара подряд. Найти вероятность того, что это будут белый, черный и синий шары.

Вариант № 2

1.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле вы бьет 10 очков, равна 0,4; 9 очков — 0,3 и, наконец, 8 и менее — 0,3. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков.

2.Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет только два высшего сорта.

3.Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероят ность попадания из первого орудия — 0,85, а из второго — 0,91. Найти вероятность поражения цели.

4.Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет пять очков?

236

5. Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех — вторая цифра. Найти вероятность того, что оба раза будет выбрана нечетная цифра.

Вариант № 3

1.В магазин поступили новые телевизоры, 60 % которых доставила первая фабрика, 25 % — вторая фабрика и 15 % — третья. Какова вероятность того, что купленный наудачу теле визор изготовлен на первой или третьей фабрике?

2.На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из которых три женщины. Найти вероятность того, что в слу чайно выбранную смену мужчин окажется не менее двух, если

всмену занято 3 человека.

3.Производится стрельба по цели с вероятностью попада ния 0,2 при одном выстреле. Стрельба прекращается при пер вом попадании. Найти вероятность того, что будет произведе но ровно шесть выстрелов.

4.Каждое из четырех несовместных событий может про изойти с вероятностями: 0,012; 0,010; 0,006; 0,002. Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий.

5.Предприятие изготовляет 95 % изделий стандартных, причем из них 86 % — первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется первосортным.

Вариант № 4

1.В урне находятся 30 шаров, из них 15 белых, 8 черных и 7 красных. Определить вероятность извлечения красного или черного шара.

2.Три электрических лампочки последовательно включе ны в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка пере горит, если напряжение в цепи превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряже нии тока в цепи не будет.

3.Два стрелка независимо друг от друга стреляют по од ной и той же цели. Вероятность попадания для первого стрел ка равна 0,8; для второго — 0,9. Найти вероятность поражения цели.

237

4.В партии 10 деталей, из них 8 — стандартных. Найти ве роятность того, что среди наудачу извлеченных двух деталей, есть хотя бы одна стандартная.

5.Студент знает 20 вопросов из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему на экзамене три вопроса.

Вариант № 5

1.В ящике 10 деталей, среди которых две нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных шести де талях окажется не более одной нестандартной детали.

2.При увеличении напряжения в два раза может произой ти разрыв электрической цепи вследствие выхода из строя од ного из трех последовательно соединенных элементов соответ ственно с вероятностями: 0,3; 0,4; 0,5. Определить вероятность того, что разрыва в цепи не будет.

3.Для сигнализации об аварии установлены два независи мо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при ава рии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; для второго вероятность срабатывания равна 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

4.Для разрушения моста достаточно попадания одной авиабомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены четыре авиабомбы с вероятно стями попадания, соответственно равными: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

5.В урне находятся 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вы нимают наугад два шара подряд. Найти вероятность того, что оба шара черные.

238

Контрольная работа № 3

Формула полной вероятности Формула Байеса. Повторные испытания

Вариант № 1

1.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника –0,9; для велосипедиста — 0,8 и для бегуна — 0,75. Найти вероятность того, что взятый наудачу спортсмен выпол нит норму.

2.На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3 % брака, второй — 0,2 % и тре тий — 0,4 %. Найти вероятность попадания на сборку брако ванной детали, если с первого автомата поступает 1000, со вто рого — 2000 и с третьего 2500 деталей.

3.Имеется десять одинаковых урн, в девяти из которых находится по два черных и два белых шара, а в одной — пять белых и один черный шар. Из наугад взятой урны извлечен на удачу шар белого цвета. Чему равна вероятность того, что шар взят из урны, содержащей пять белых шаров?

4.Вероятность выигрыша по облигациям займа за все вре мя его действия равна 0,25. Какова вероятность того, что не кто, приобретя восемь облигаций, выиграет по шести из них?

5.Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, не более трех девочек, если вероятность рождения мальчика и девочки считать одинаковой.

Вариант № 2

1.В телевизионном ателье имеется четыре кинескопа. Веро ятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок служ бы, соответственно равны: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок.

2.Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом № 1 и две коробки — заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2–0,9. Сборщик берет наугад деталь из наудачу взятой коробки. Най ти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

239

3.Два охотника одновременно стреляют в цель. Извест но, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2,

ау второго — 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность тог, что промахнул ся первый охотник?

4.В цехе шесть моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включено четыре мотора.

5.Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее двух раз.

Вариант № 3

1.Имеется три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 3 черных, во второй — 5 белых и 2 черных, в третьей — 2 белых

и5 черных шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и выни мает из нее шар. Найти вероятность того, что это белый шар.

2.В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике 12 ламп, из них одна нестандартная, во втором — 10 ламп, из них одна нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наугад извлеченная из второго ящика лампа будут нестан дартной.

3.Известно, что 5 % всех мужчин и 0,25 % всех женщин — дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина?

4.Монета бросается восемь раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх шесть раз?

5.В мастерской 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работа ет с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 10 моторов работает с полной на грузкой.

Вариант № 4 1. Литье в болванках поступает из двух заготовительных

цехов: 70 % из первого и 30 % из второго. При этом материал из первого цеха имеет 10 % брака, а из второго — 20 %. Найти вероятность того, что взятая наугад болванка без дефекта.

240