Chast_10_TV

Вариант 23

1.Монета подброшена 3 раза. Найти вероятность того, что ни одного раза не появится «цифра».

2.Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что разность выпавших очков равна трем, а произведение — больше десяти.

3.Под микроскопом 6 бактерий штамма А, 5 — штамма В, 4 — штамма С и 2 — штамма D. Для проверки на резистент ность к антибиотику случайным образом выбраны 7 бактерий. Определить вероятность того, что среди них 3 бактерии штам ма А, 2 — штамма В, 2 — штамма С.

4.В квадрате с вершинами О (0,0); А (1,0); В (1,1); С (0,1)

наудачу выбирается точка с координатами (x; y) . Найти веро ятность события D = {(x; y) xy Ј 0,5}.

5.Вероятность хотя бы одного попадания в цель при че тырех выстрелах равна 0,9919. Найти вероятность попадания

вцель при одном выстреле.

6.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника –0,9; для велосипедиста — 0,8 и для бегуна — 0,75. Найти вероятность того, что взятый наудачу спортсмен выполнит норму.

7.Известно, что 5 % всех мужчин и 0,25 % всех женщин — дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это женщина?

8.На отрезок, разделенный на четыре равные части, нау дачу брошены 8 точек. Найти вероятность того, что на каждую часть отрезка попадет по 2 точки. Предполагается, что вероят ность попадания точки на отрезок пропорциональна длине от резка.

9.Вероятность появления события в каждом из 100 незави симых испытаний постоянна и равна 0,55. Найти вероятность того, что событие появится менее чем в половине случаев.

10.Юбилейные металлические рубли составляют 2 % от их общего количества. Найти вероятность того, что из 500 метал лических рублей 9 являются юбилейными.

201

Вариант 24

1.Группа из 12 студентов рассаживается вокруг круглого стола произвольным образом, занимая все места. Какова веро ятность того, что Иван и Петр окажутся сидящими на проти воположных местах?

2.Из полного набора костей домино наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что первая кость «2: 3»,

авторая — дубль.

3.Среди 17 деталей 5 бракованных. Определить вероят ность того. что среди взятых наудачу 5 деталей двебракован ные.

4.На плоскость нанесены две концентрические окружно сти 10 и 20. Какова вероятность того, что наудачу появив шаяся в большем круге точка не попадет в малый круг?

5.В двух урнах находятся белые и черные шары. В первой урне белых шаров 60 %, во второй их 40 %. Наудачу вынимает ся по одному шару из каждой урны. Определить вероятность того, что хотя бы один шар — черный.

6.В отделении Сбербанка имеются четыре автомата для пересчета купюр. Вероятности того, что автомат выдержит га рантийный срок службы, соответственно равны: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу автомат вы держит гарантийный срок.

7.Маша, Даша и маленькая Сонечка договорились мыть посуду по очереди, но в случайном порядке. Вероятность что-то разбить для девочек равна соответственно 0,3 %; 0,6 % и 10 %. Из кухни доносится звон разбитой чашки. Определить вероятность того, что посуду в этот раз мыла Сонечка.

8.Вероятность падения бутерброда маслом вверх равна 0,3. Определить вероятность того, что из четырех одинаковых упавших бутербродов не менее трех упадет маслом вверх.

9.Вероятность появления события в каждом из 300 незави симых испытаний постоянна и равна 0,62. Найти вероятность того, что событие появится не менее чем в 170 и не более чем в 250 случаях.

10.Вероятность несимметричной окраски крыльев бабочки составляет 1,5 %. Определить вероятность того, что из 500 ба бочек 6 будут окрашены несимметрично.

202

Вариант 25

1.Группа из 12 делегатов конференции усаживается в зале

впервый ряд произвольным образом, занимая все места. Ка кова вероятность того, что два определенных делегата окажут ся сидящими рядом?

2.Куб, все стороны которого окрашены, распилен на 1000 одинаковых кубиков. Найти вероятность того, что у наудачу взятого кубика не будет окрашенных граней.

3.В коробке 13 гаек, среди которых три 7, четыре 10, остальные 8. Наудачу взяты 6 гаек. Определить вероятность того, что среди них две 7, две 10 и две 8.

4.Иван и Петр встречаются в определенном месте с 11 до 12 часов. Каждый приходит в случайный момент времени, ждет другого до истечения часа, но не более 10 минут. Найти веро ятность того, что встреча не состоится до 11.30.

5.Среди 22 пельменей четыре — «счастливые». Определить вероятность того, что среди трех случайным образом положен ных в тарелку пельменей хотя бы один — «счастливый».

6.В первой урне 5 белых шаров и 1 черный шар, во вто рой — 4 белых и 3 черных шара. Из первой урны во вторую переложено три шара, а затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что этот шар — белый.

7.Известно, что 5 % всех мужчин и 0,25 % всех женщин — дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина?

8.Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, не более трех девочек, если вероятность рождения мальчика и девочки считать одинакова.

9.Известно, что взрываются 80 % петард, остальные явля ются бракованными. К Новому году куплено 150 петард. Най ти вероятность того, что взорвутся от 100 до 130 петард.

10.Джоггингом занимаются 3 % населения Лихтенштейна. Найти вероятность того, что среди 1000 лихтенштейнцев 25 за нимаются джоггингом.

203

Введение в теорию вероятностей

Часть 2

Вариант 1

1.По цели производится два независимых выстрела. Ве роятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,4. Получить закон распределения числа попаданий, построить полигон распределения и график функции распределения.

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ x = { число попаданий }.

3.Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,4. Опыт повторяют до наступления события А. Опре делить математическое ожидание ДСВ x = { число повторе ний опыта }. Вычислить вероятность того, что А наступит во втором опыте.

4. Задана	плотность		распределения	НСВ	Х
мx -C; x О[1;2]		. Найти постоянную С, функцию распре
p(x) = н
о 0; x П[1;2]

деления и вероятность выполнения неравенства 1 Ј x Ј1,5.

5.В условиях задачи 4 определить моду, математическое ожи дание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение НСВ Х.

6.Математическое ожидание и среднеквадратичное от клонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в ре зультате испытания случайная величина примет значение, за ключенное в интервале (12; 14) .

7.В условиях задачи 6 найти длину интервала, симметрич ного относительно математического ожидания, в который

свероятностью 0, 997 попадет НСВ Х в результате испытания.

8.Студент помнит, что плотность показательного распре

деления вроде бы имеет вид	м0, x < 0	, однако забыл,
	p(x) = н
	Ce±lx , x і 0
	о

чему равно С и понимает, что вместо ± нужно выбрать какойто один знак. Как решить эти два вопроса?

204

9. ДСВ	X	задана законом распределения:	x : 0,1;0,4;0,6
			p : 0,2;0,3;0,5

Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того,

что		X - M(X )			< 0,4 .
10.			Задан			закон распределения двумерной ДСВ.
			yi
xi	3		10			12
4	0,17		0,13			0,25

50,10 0,30 0,05

Найти безусловные законы распределения составляющих X и Y.

Вариант 2

1.В урне находятся 8 белых и два черных шара. Наудачу отобраны два шара. Составить закон распределения числа бе лых шаров среди отобранных шаров. Построить график функ ции распределения.

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ x = { число белых шаров }

3.ДСВ Х распределена по закону Пуассона с параметром a = 2 . Определить вероятность того, что ДСВ Х примет значе

ние, не превышающее k = 3.
4. Задана			плотность			распределения	НСВ	Х
мC sin x; x О[0; p]
п				2	. Найти постоянную С, функцию рас
p(x) = н			p
п	0; x	П[0;		]
п			2
о

пределения и вероятность выполнения неравенства p Ј x Ј p .

42

5.В условиях задачи 4 определить моду, математическое ожи дание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение НСВ Х.

6.Ошибка радиодальномера подчинена нормальному закону. Математическое ожидание этой ошибки равно 5 м, а сред

нее квадратичное отклонение — 10 м. Найти вероятность того, что измеренное расстояние будет отклоняться от истинного не более чем на 20 м.

205

7.НСВ Х распределена нормально с математическим ожи данием a = 10. Вероятность попадания Х в интервал (10;20) равна 0,25. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0;10)?

8.НСВ Х распределена по показательному закону с пара метром l = 3. Найти вероятность того, что в результате испыта ния НСВ Х примет значение, лежащее на интервале (0,1; 0,7).

9.Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,25. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить веро ятность того, что число Х появлений события будет заключено

впределах от 150 до 250, если будет проведено 800 испытаний.

	10.Задан		закон распределения двумерной ДСВ.
		yi
xi	-1	0	1
4	0,15	0,3	0,35

50,05 0,05 0,1

НайтибезусловныезаконыраспределениясоставляющихXиY. Вариант 3

1.По цели производится два независимых выстрела. Ве роятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,6. Получить закон распределения числа попаданий, построить полигон распределения и график функции распределения.

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ x = { число попаданий }

3.Испытания образца металлической проволоки на проч ность проводятся до разрыва образца. Вероятность разрыва образца в каждом испытании равна 0,1. Определить матема тическое ожидание ДСВ x = { число испытаний }. Вычислить вероятность того, что образец будет разорван при третьем ис пытании.

мCx; x О[0;2]

4. Задана плотность распределения НСВ Х p(x) = н .

о 0; x П[0;2]

Найти постоянную С, функцию распределения и вероятность выполнения неравенства -1 Ј x Ј1.

206

5. В условиях задачи 4 определить моду, математическое ожи дание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение НСВ Х.

6. Найти вероятность того, что нормальная случайная ве личина Х с математическим ожиданием, равным единице, и дисперсией, равной четырем, примет значение, меньшее нуля, но большее (– 5).

7. В условиях задачи 6 найти длину интервала, симметрич ного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0, 995 попадет НСВ Х в результате испытания.

8. НСВ Х распределена по показательному закону с пара метром l = 0,6. Найти вероятность того, что в результате испы тания НСВ Х примет значение, лежащее на интервале (1; 5).

9. ДСВ Х задана законом распределения: x : 0,3;0,6 Пользу p : 0,2;0,8

ясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что

X - M(X ) < 0,2 .

	10.Задан		закон распределения двумерной ДСВ.
		yi
xi	-1	0	1
4	0,15	0,3	0,35

50,05 0,05 0,1

Вычислить вероятность события А= ( X = 2;Y і 0 ).

Вариант 4

1.В урне находятся 6 белых и 4 черных шара. Наудачу ото браны два шара. Составить закон распределения числа белых шаров среди отобранных шаров

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ x = { число белых шаров }

3.ДСВ Х распределена по закону Пуассона с параметром a = 3. Определить вероятность того, что ДСВ Х примет значе

ние, не превышающее k = 2.

207

4. Задана		плотность			распределения	НСВ	Х
мAcosx; x О[0; p]
п			2	. Найти постоянную А, функцию распре
p(x) = н		p
п	0; x П[0;		]
п		2
о

деления и вероятность выполнения неравенства 0 Ј x Ј p4 .

5.В условиях задачи 4 определить моду, математическое ожи дание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение НСВ Х.

6.Производится измерение диаметра стержня без систе матической ошибки. Случайные ошибки измерения X подчи нены нормальному закону со средним квадратичным отклоне нием s =10 мм . Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной ве личине 15 мм.

7.Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожида нием 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не ме нее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет больше 55 мм.

8.НСВ Х распределена по показательному закону с пара метром l = 0,5. Найти вероятность того, что в результате испы тания НСВ Х примет значение, лежащее на интервале (1; 3).

9. ДСВ						X		задана		законом	распределения:
x	1		2	3			4	5	6	. Чему равна вероятность того,
p	0,05		0,1	0,25			0,3	0,2	0,1
что		X - M(X )				< 2? Оценить эту вероятность, пользуясь нера
венством Чебышева.
10. Задан						закон		распределения			двумерной ДСВ.
			yi
xi	-1		0	1
4	0,15		0,3	0,35.

50,05 0,05 0,1

Вычислить вероятность события В = (X >Y ) .

208

Вариант 5

1.Брошены две одинаковые игральные кости. ДСВ — чис ло появлений шести очков. Получить закон распределения ДСВ. Построить график функции распределения.

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ x = {число появлений шести очков}

3.Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,3. Опыт повторяют до наступления события А. Опреде лить математическое ожидание ДСВ x = { число повторений опыта }. Вычислить вероятность того, что А наступит в тре тьем испытании.

4. Задана	плотность		распределения	НСВ	Х
мx +C; x О[0;1]		. Найти постоянную С, функцию распре
p(x) = н
о 0; x П[0;1]

деления и вероятность выполнения неравенства 0,5 Ј x Ј1,5 .

5.В условиях задачи 4 определить моду, математическое ожи дание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение НСВ Х.

6.НСВ Х распределена по нормальному закону с параме трами a = 3,5;s =1,5 . Определить вероятность выполнения не равенства 2,5 < x < 4 .

7.В условиях задачи 6 найти длину интервала, симметрич ного относительно математического ожидания, в который

свероятностью 0, 9975 попадет НСВ Х в результате испытания.

8.НСВ Х распределена по показательному закону с пара метром l = 2. Найти вероятность того, что в результате испыта ния НСВ Х примет значение, лежащее на интервале (0,1; 0,8).

9.Среднее значение длины детали — 50 см. Дисперсия равна 0,1. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить веро ятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не менее 49,5 см и не более 50,5 см.

	10. Задан		закон	распределения	двумерной	ДСВ
		yi
xi	3	10	12
4	0,17	0,13	0,25.

50,10 0,30 0,05

Вычислить вероятность события В = (X >Y ) .

209

Вариант 6

1.По цели производится два независимых выстрела. Ве роятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,5. Получить закон распределения числа попаданий, построить полигон распределения и график функции распределения.

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ x = {число попаданий}.

3.Испытания образца композита на прочность проводят ся до разрушения образца. Вероятность разрушения образца

вкаждом испытании равна 0,2. Определить математическое ожидание ДСВ x = {число испытаний}. Вычислить вероятность того, что образец разрушится при третьем испытании.

4.

Задана

плотность

распределения

НСВ

Х

мCarctg;x О[0;1]

. Найти постоянную С, функцию распре

p(x) = н

0;x

П[0;1]

о

деления и вероятность выполнения неравенства 0 Ј x Ј

1

.

3

5.

Задана

плотность

распределения

НСВ

Х

п

(

)

м

1

x -1 ; x О[1;3]

. Определить моду, математическое ожи

p(x) = н

2

п

0; x П[1;3]

о

дание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение НСВ Х.

6.Найти вероятность того, что нормальная случайная ве личина Х с математическим ожиданием, равным нулю, и дис персией, равной четырем, примет значение, меньшее нуля, но большее (– 6).

7.В условиях задачи 6 найти длину интервала, симметрич ного относительно математического ожидания, в который

свероятностью 0, 995 попадет НСВ Х в результате испытания.

8.НСВ Х распределена по показательному закону с пара метром l = 0,1. Найти вероятность того, что в результате испы тания НСВ Х примет значение, большее 1.

9.Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,5. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить веро ятность того, что число X появлений события А будет заклю

210