Chast_10_TV

2.Вероятность того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти

ив остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оператив ной памяти и в остальных устройствах соответственно равны: 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

3.Для участия в спортивных соревнованиях выделены сту денты: с 1-го курса — четыре, со 2-го — шесть, с 3-го — пять. Вероятность того, что студент 1-го курса попадет в команду, равна 0,9; 2-го — 0,7; 3-го — 0,8. Найти вероятность того, что студент, попавший в команду, учится на первом курсе.

4.В классе 30 учащихся: 20 мальчиков и 10 девочек. Учи тель задал три вопроса, на каждый из которых отвечал один человек. Какова вероятность того, что среди отвечавших было два мальчика и одна девочка?

5.Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,3. Най ти вероятность того, что событие А произойдет не менее трех раз.

Вариант № 5

1.В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95. Для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Сту дент производит расчет на произвольно выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

2.В ящике содержится 12 деталей завода № 1, 20 деталей завода № 2 и 18 деталей завода № 3. Вероятность того, что де таль завода № 1 отличного качества, равна 0,9; для деталей завода № 2 и № 3 эти вероятности соответственно равны 0,6

и0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

3.Число грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта веро

241

ятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что эта машина — грузо вая.

4.В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова ве роятность вынуть два белых и два черных шара?

5.Произведено восемь независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.

242

Контрольная работа № 4

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Вариант № 1 1. Известны математические ожидания и дисперсии двух

независимых случайных величин X и Y : M(X ) = 2 , M(Y ) = 2 , D(X ) = 4 , D(X ) = 1. Найти математическое ожидание и дис персию случайной величины Z = 3X + 2Y - 5 .

2. Дискретная случайная величина X задана законом рас

пределения:

x : 0,1;0,4;0,6 p : 0,2;0,3;0,5.

Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что X - M(X ) < 0,4 .

3. Случайная величина X может принимать два значения: x1 с вероятностью 0,3 и x2 с вероятностью 0,7, причем x1 < x2 .

1и x2 , зная, что M(X ) = 2,7 ,D(X ) = 0,21.

4.Дисперсия каждой из девяти одинаково распределен ных случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.

5.Брошены n игральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут выпасть на всех выпавших гранях.

Вариант № 2

1. Дискретные случайные величины X и Y заданы закона
ми распределения: x	1	2	y	0,5	1	. Найти математиче
p	0,2	0,8	p	0,3	0,7

ское ожидание произведения XY двумя способами.

2.Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,25. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить веро ятность того, что число X появлений события будет заключено

впределах от 150 до 250, если будет проведено 800 испытаний.

3.Дискретная величина X принимает только два значе

ния: x1 и x2 , причем x1 < x2 , с вероятностями 0,2 и 0,8. Найти x1 и x2 , зная, что математическое ожидание M(X ) = 2,6 и сред нее квадратичное отклонение s(X ) = 0,8.

243

4. Испытывается устройство, состоящее из четырех неза висимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов

таковы: p1 = 0,3 , p2 = 0,4 , p3 = 0,5, p4 = 0,6 . Найти математиче ское ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

5. Доказать, что математическое ожидание отклонения X - M(X ) равно нулю.

Вариант № 3
1. Дискретные случайные величины							X и Y	заданы закона
	x	1	2		y	0,5	1
ми распределения:	p	0,2	0,8	и	p	0,3	0,7. Найти математи

ческое ожидание суммы X +Y двумя способами.

2. Дискретная случайная величина X задана законом рас

пределения: x : 0,3;0,6 . Пользуясь неравенством Чебышева, p : 0,2;0,8

оценить вероятность того, что X - M(X ) < 0,2 .

3. Дан перечень возможных значений дискретной случай ной величины X : x1 = -1,x2 = 0,x3 = 1, а также даны матема тические ожидания этой величины и ее квадрата: M(X ) = 0,1 M(X 2 ) = 0,9 . Найти вероятности p1, p2, p3 , соответствующие

возможным значениям x1,x2,x3 .

4. Брошены n игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех костях.

5. Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины заключено между наименьшим и наи большим ее возможными значениями.

Вариант № 4 1. Известны математические ожидания и дисперсии двух

независимых случайных величин X и Y : M(X ) = 2 , M(Y ) = 2 , D(X ) = 4 , D(X ) = 1. Найти математическое ожидание и дис

персию случайной величины Z = 3X + 2Y - 5 .
2. Дискретная случайная величина X						задана законом рас
пределения: x	1	2	3	4	5	6	. Чему равна ве
p	0,05	0,1	0,25	0,3	0,2	0,1

роятность того, что X - M(X ) < 2 . Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышева.

244

3.Производятся четыре выстрела с вероятностями попада

ния в цель p1 = 0,6 , p2 = 0,4 , p3 = 0,5, p4 = 0,7 . Найти математи ческое ожидание и дисперсию общего числа попаданий.

4.Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпада ет равно m шестерок, если общее число бросаний равно N .

5.Доказать, что дисперсия суммы двух независимых слу чайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Вариант № 5

1.Найти математическое ожидание произведения чис ла очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

2.Среднее значение длины детали — 50 см. Дисперсия равна 0,1. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить веро ятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не менее 49,5 см и не более 50,5 см.

3.Дискретная случайная величина X имеет два возмож

ных значения x1 и x2 , причем x1 < x2 . Вероятность того, что случайная величина примет значение x1 , равна 0,6. Найти за кон распределения величины X , если M(X ) = 1,4 , D(X ) = 0,24 .

4.Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится пять деталей. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X — числа партий, в каждой из которых окажется ровно четы ре стандартных изделия, если проверке подлежит 50 партий.

5.Доказать, что D(X ) = M(X 2 ) - [M(X )]2 .

Контрольная работа № 5

Интегральная и дифференциальная функции распределения

Вариант № 1 1. По цели производится два независимых выстрела. Ве

роятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,4. Составить ряд распределения числа попаданий, построить по лигон распределения и график интегральной функции распре деления.

245

2. Дана дифференциальная функция распределения слу чайной величины X : f (x) = 12 sin x в интервале (0;p) ; вне этого

интервала f (x) = 0 . Построить график дифференциальной функции распределения.

3. Дана дифференциальная функция распределения слу чайной величины X : f (x) = 12 sin x в интервале (0;p) ; вне этого

интервала f (x) = 0 . Вычислить математическое ожидание

идисперсию случайной величины X .

4.Дана дифференциальная функция распределения слу

чайной величины X : f (x) = 12 sin x в интервале (0;p) ; вне этого

интервала f (x) = 0 . Определить вероятность того что случай ная величина X принимает значение, не меньшее чем p3 .

5. Ошибка радиодальномера подчинена нормальному за кону. Математическое ожидание этой ошибки равна 5 м, а среднее квадратичное отклонение — 10 м. Найти вероятность того, что измеренное расстояние будет отклоняться от истин ного не более чем на 20 м.

Вариант № 2

1. Дискретная случайная величина X задана законом рас

пределения:	x	3	4	7	10	. Построить многоугольник
	p	0,2	0,1	0,4	0,3

распределения и интегральную функцию распределения.

2. Дана дифференциальная функция распределения слу чайной величины X : f (x) = 252 x в интервале (0;5) ; вне этого

интервала f (x) = 0 . Найти интегральную функцию распреде ления. Построить графики дифференциальной и интеграль ной функций распределения случайной величины X .

3. Дана дифференциальная функция распределения слу чайной величины X : f (x) = 252 x в интервале (0;5) ; вне этого

246

интервала f (x) = 0 . Вычислить математическое ожидание

идисперсию случайной величины X .

4.Дана дифференциальная функция распределения слу

чайной величины X : f (x) = 252 x в интервале (0;5) ; вне этого

интервала f (x) = 0 . Определить вероятность того, что случай ная величина X принимает значение, не меньшее чем 3.

5. Найти среднее квадратичное отклонение случайной ве личины X , распределенной равномерно в интервале (2;8) .

Вариант № 3.

1.Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты. Для случайного числа появлений герба построить ряд распре деления и график интегральной функции распределения.

2.Случайная величина X задана интегральной функцией

м0,x Ј -2,

п

распределения: F (x) = пн 4x + 12,-2 < x Ј 2, . Найти дифференци

п

п1,x > 2

о

альную функцию распределения.

3. Случайная величина X задана интегральной функцией

м0,x Ј -2,

п

распределения: F (x) = пн 4x + 12,-2 < x Ј 2, . Вычислить математи

п

п1,x > 2

о

ческое ожидание и дисперсию.

4. Случайная величина X задана интегральной функцией

		м0,x Ј -2,
		п			1
	распределения:	п x						. Определить вероят
		F (x) = н		+		,-2	< x Ј 2,
			4		2
		п
		п1,x			> 2
		о
	ность того, что случайная величина X							примет значение, не
	меньшее чем 1.

247

5. Математическое ожидание и среднее квадратичное от клонение нормально распределенной случайной величины со ответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что слу чайная величина примет значение, заключенное в интервале

(12;14) .

Вариант № 4

1. Дискретная случайная величина X задана законом рас

пределения:	x	3	4	7	10	. Построить многоугольник
	p	0,2	0,1	0,4	0,3

распределения и интегральную функцию распределения.

2. Случайная величина X задана дифференциальной

функцией распределения	f (x) =		1	в интервале (-3;3) .
		p	9 - x 2
Найти интегральную функцию распределения.
3. Случайная величина X задана				дифференциальной
функцией распределения	f (x) =		1	в интервале (-3;3) .
		p	9 - x 2

Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной

величины X .
4. Случайная величина X задана			дифференциальной
функцией распределения	1		в интервале (-3;3) .
	f (x) =
		p 9 - x 2

Определить, какой результат испытания более вероятен: x <1 или x >1 .

5. Производится измерение диаметра вала без системати ческой ошибки. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением s =10 мм . Найти вероятность того, что измерение будет произ ведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине

15мм.

Вариант № 5 1. По цели производится три выстрела. Вероятность попа

дания в цель при каждом выстреле равна 0,5. Составить ряд рас пределения числа попаданий, построить многоугольник рас пределения и график интегральной функции распределения.

248

2. Дана плотность распределения вероятностей случайной величины X : f (x) = x - 12 в интервале (1;2) ; вне этого интерва

ла f (x) = 0 . Построить график дифференциальной и инте гральной функций распределения случайной величины X .

3. Дана плотность распределения вероятностей случайной величины X : f (x) = x - 12 в интервале (1;2) ; вне этого интерва

ла f (x) = 0 . Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

4. Дана плотность распределения вероятностей случайной величины X : f (x) = x - 12 в интервале (1;2) ; вне этого интерва

ла f (x) = 0 . Определить вероятность того, что случайная вели чина X примет значение не меньшее 1,5.

5. Случайная величина X — время работы радиолампы — имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет не меньше 600 часов, если среднее время работы радиолампы — 400 часов.

Контрольная работа № 6

Вариант № 1

1.Устройство содержит пять элементов, из которых два изношены. При работе устройства случайным образом вклю чаются два элемента. Найти вероятность того, что включенны ми окажутся неизношенные элементы.

2.Литье в болванках поступает из двух цехов: 70 % из пер вого и 30 % из второго цеха. При этом материал первого цеха имеет 10 % брака, а второго — 20 %. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка не имеет дефектов.

3.Батарея дала пять залпов по объекту. Найти вероятность разрушения объекта, если вероятность попадания в него равна 0,5, а для разрушения нужно не менее двух попаданий.

4.Вероятность выпуска нестандартной радиолампы равна 25 %. Оценить вероятность того, что в партии из 1000 радио ламп число нестандартных ламп отличается от 250 менее чем на 40.

249

5. Дифференциальная функция распределения случайной величины X задана выражением:

мax2, x О[0;1], f (x) = п

нпо0, x П[0,1].

Найти значение параметра a . Построить график дифферен циальной и интегральной функций распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины

X .

Вариант № 2

1.В урне 10 билетов с выигрышем и 15 без выигрыша. Вы нимают один за другим три билета (без возврата). Какова веро ятность того, что все вынутые билеты с выигрышем?

2.На склад поступает продукция трех фабрик, причем про дукция первой фабрики составляет 20 %, второй — 46 % и тре тьей — 34 %. Средний процент нестандартных изделий для пер вой фабрики равен 3 %, для второй — 2 % и для третьей — 1 %. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произве дено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.

3.Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом не зависимом испытании вероятность появления события А рав на 0,3.

4.Вероятность появления события А в каждом испытании равно 0,5. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить веро ятность того, что число X появлений события А будет заклю чено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 неза висимых испытаний.

5.Дифференциальная функция распределения случайной величины X задана выражением:

мa sin x, x О[0;p], f (x) = п

нпо0, x П[0,p].

Найти значение параметра a . Построить график дифференци альной и интегральной функций распределения, вычислить ма тематическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

250