Chast_10_TV

№ 3

В чем состоит событие ( A + B ), для событий

А {появление двух гербов при подбрасывании двух монет} и B {появление герба и цифры при подбрасывании двух монет}?

Решение:

( A + B ) {появление хотя бы одного герба при подбрасывании двух монет}.

№ 4

В чем состоит событие ( A + B +C ) для событий

А {появление 6 очков при бросании игральной кости}, B {появление 5 очков при бросании игральной кости}, С {появление 4 очков при бросании игральной кости}?

Решение:

(A + B +C ) {появилось не меньше 4 очков}.

№ 5

Наугад отобранная деталь может оказаться первого сорта (событие А), или второго (событие В), или третьего (событие С).

В чем состоят события A + B , A +C , A ЧC , (A Ч B) +C ? Выполняется ли равенство A Ч В = А Ч В ?

Решение:

A + B {деталь либо первого, либо 2 сорта}, A +C {деталь 2 сорта},

A ЧC = Ж ,

(A ЧB) +C = Ж +C =C . Нет, C № W.

№ 6

Пусть А, В и С ─ случайные события, которые являются элементарными событиями одного и того же пространства исходов опыта. Запишите такие события:

а) произошло только А, б) произошло одно и только одно из данных событий,

в) произошли два и только два из данных событий, г) произошли все три события, д) произошло хотя бы одно из данных событий,

е) ни одно из событий не произошло.

81

Решение:

а) А ЧB ЧC ,

б) (A Ч B ЧC ) + (A Ч B ЧC ) + (A Ч B ЧC ), в) (A Ч B ЧC ) + (A Ч B ЧC ) + (A Ч B ЧC ),

г) A ЧB ЧC ,

д) A + B +C ,

е) A ЧB ЧC .

№ 7

Пусть для трех событий A, B, C выполняется событие Е {произойдет только одно из событий A, B, C}:

Постройте множество всех элементарных исходов и состав всех подмножеств, соответствующих событию Е.

Решение:

W = {ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC}

E = {ABC, ABC, ABC}.

. 1.

№ 8

Докажите, что а) A + B = AЧ B и б) AB = A + B .

Решение:

a) Левая часть равенства:

82

. 2. +
	. 3. +

Правая часть равенства:

		. 5.
. 4.

. 6. ·

83

б) Левая часть равенства

. 7. ·
	. 8. ·

Правая часть равенства

. 9.

. 10.

. 11. +

Ответ: 43

84

2.2. Классическое определение вероятности

№ 1

Имеются 6 ключей. Какова вероятность выбрать нужный ключ?

Решение:

P (A) = NN ((WA)) = 16 = 0,16.

Ответ: 0,16

№ 2

В книге 500 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 7?

Решение:

N (W)=5000.

Номер страницы, кратный 7, имеет вид 7k, где k – целое число, 0 < 7k < 500, k < 5007 = 7137 Ю k = 71. Из них благоприятствуют

наступлению интересующего нас события N (A) = 71.

P (A) = NN ((WA)) = 50071 = 0,142 .

Ответ: 0,142

№ 3

На 5 карточках написаны буквы А, К, Л, О, Д. Какова вероятность того, что при случайном последовательном выборе карточек получится слово «ЛОДКА»?

Решение:

Число возможных расположений пяти букв на пяти местах равно N (W) = P5 = 5! = 120 . Так как нас интересует одна комбинация из них, то:

N( A)		1
P (A) = N (W)	=			= 0,008 .
		120

Ответ: 0,008

№ 4

Из 5 карточек с буквами А, В, Б, Г, Д, наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «ДВА»?

85

Решение:

Число возможных расположений пяти букв на трех местах равно N (Ω) = A53 . Так как нас интересует одна комбинация из них, то:

P(A) = N( A)	=	1	=	1	=	1	= 0,017 .
		3		5Ч 4 Ч3		60
N (W)		A5

Ответ: 0,017

№ 5

Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки А, А, М, М. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв, в ряд получится слово «МАМА»?

Решение:

Число способов расположить букву «М» на двух местах из четырех равно C42 , а букву «А» на двух оставшихся — C22 .

Число возможных последовательностей этих пар букв равно

N (Ω) = C42 ЧC22 .

Нас устраивает одна из этих комбинаций, поэтому:

P(A) = N( A)

=

1

=

1

=

1

=

1

=0,167.

2

2

4!

4 Ч3Ч 2

N (W)

C4

ЧC2

6

2!2!

2 Ч 2

Ответ: 0,167

№ 6

Дан набор букв М, М, Т, Т, А, А, А, Е, И, К.

Какова вероятность того, что при случайном раскладывании получится слово «МАТЕМАТИКА»?

Решение:

М	М
Число упорядоченных комбинаций из данных букв (М, А, Т, Е,

И, К) равно числу сочетаний из п элементов с повторениями:

N(Ω) = C10 (2, 3, 2, 1, 1, 1).

Нас интересует одна из таких комбинаций, вероятность ее появления равна

N(A)	1				2! 3! 2!
P (A) = N (W) =				=		=
	C10 (2, 3, 2 )				10!
=	1		» 0,000066.
	151200

Ответ: 0,000066

86

№ 7

Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры, и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найдите вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение:

N(A)	1		1			1
P (A) = N (W) =		=			=		= 0,0083 .
	A103			10 Ч9Ч8		720

Ответ: 0,0083

№ 8

При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наугад, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найдите вероятность того, что номер набран правильно.

Решение:

Число возможных расположений пяти нечетных цифр (1, 3, 5, 7, 9) на двух местах равно A52 .

Вероятность набора единственно верной комбинации

P(A) = N( A)

=

1

=

1

=

1

=0,05 .

2

20

N (W)

A5

5Ч4

Ответ: 0,05

№ 9

В лотерее

2000

билетов. Из них выигрышных билетов:

1 ─ 100 руб., 4 ─ 50 руб., 10 ─ 20 руб., 20 ─ 10 руб., 165 ─ 5 руб.,

400 ─ 1 руб., остальные ─ невыигрышные. Какова вероятность

выиграть по билету не менее 10 руб.?

Решение:

P (A) =

N (A)

1+ 4 +10 + 20

35

= 0,0175.

=

=

N (W)

2000

2000

Ответ: 0,0175

№ 10

Числа натурального ряда 1,2,3,… n расставлены случайно. Какова вероятность того, что числа 1 и 2 расположатся рядом и притом в порядке возрастания?

87

Решение:

Число способов N (W) расставить n чисел натурального ряда

равно Pn = n!.

Число способов, когда числа 1 и 2 стоят на первом и втором местах, равно числу перестановок остальных (n - 2) чисел на остальных местах: Pn-2 = (n - 2)!. Различных положений чисел 1 2, когда они находятся рядом в порядке возрастания (n -1) .

Событие А {числа 1 и 2 расположатся рядом и притом в поряд-

ке возрастания}.

(

)

.

(

)

(

) (

)

N

A

=

n - 2

!

n -1

=

n -1 !

P (A) =

N (A)

=

(n -1)!

=

1 .

n!

N (W)

n

Ответ: 1n

№ 11 В театре в одном ряду, содержащем 15 мест, произвольно рас-

саживаются 8 человек. Какова вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом?

Решение:

Число способов N (W) рассадить 8 человек по 15 местам равно N (W) = A158 = 157!! . Число благоприятствующих исходов: два со-

седних кресла в ряду из 15 можно расположить 14 способами (1–2, 2–3, и т. д.), эти два места соседи могут занять двумя способами; остальные 6 человек могут рассаживаться на оставшихся 13 местах A136 способами, откуда

N ( A) =14 Ч 2 Ч A136 =	2 Ч14 Ч13!	=	2 Ч14! .
	7!		7!

P (A) = N (A) = 2Ч14! Ч7! = 2 = 0,133.

N (W) 7! Ч15! 15

Ответ: 0,133

№ 12 Вокруг круглого стола стоят 12 стульев. 12 человек занима-

ют места за столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом?

88

Решение:

1 способ. Число способов рассадить 12 человек по 12 стульям равно P12 = 12! . Число благоприятствующих исходов: два соседних стула в круге из 12 можно расположить 12 способами (1–2, 2–3,…11–12, 12–1), эти два места соседи могут занять двумя способами; остальные 10 человек могут рассаживаться на оставшихся 13 местах P10 способами, откуда

P (A) = N (A) = 2Ч12Ч10! = 2Ч12 = 2 .

N (W) 12! 12Ч11 11

2 способ. Первый человек занимает 1 стул, оставшихся стульев — 11, из них соседних — 2. Вероятность второму человеку

занять соседний стул — 112 = 0,(18) .

Ответ: 0, (18)

№ 13 В группе из 12 студентов, среди которых 8 отличников, по спи-

ску наудачу отобрали 9 студентов. Найдите вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.

Решение:

P (A) =	N (A)		C85 ЧC44		8!		4! 9!Ч3!			14
		=		=		Ч		Ч 12!	=		» 0,25.
	N (W)		C129		5!Ч3!		4!Ч1!			55

Ответ: 0,25

№ 14 Сколько существует способов раздать 10 вариантов контроль-

ной работы восьми студентам? Какова вероятность события A {варианты 1 и 2 окажутся неиспользованными}?

Решение:				10!
Общее число способов N (W) = A108 =						= 1814400 ,
				2!
N (A) = A88 = 8!, P (A) =	N (A)	=	8!Ч 2!	=	1		= 0,0	(2)
	N (W)		10!
				45

Ответ: 1814400; 0,0 (2)

89

№ 15 Три неразличимых шара случайным образом размещаются по

трем ящикам. Изобразите пространство исходов опыта, приведя все способы возможных размещений.

Решение:

Если шары неразличимы, пространство событий имеет 10 исходов:

1.	{111,-,-}	6.	{1,11,-}
2.	{-,111,-}	7.	{1,-,11}
3.	{-,-,111}	8.	{-,11,1}
4.	{11,1,-}	9.	{-,1,11}
5.	{11,-,1}	10. {1,1,1}

№ 16 Три различных шара случайным образом размещаются по трем

ящикам. Изобразите пространство исходов опыта, приведя все способы возможных размещений.

Найдите вероятности событий:

А — существует ящик, содержащий не менее двух шаров; В — первый ящик не пуст;

С — первый ящик пуст и не существует ящика, содержащего более одного шара.

Решение:

Пространство размещений A{Ai }:

A1 {abc,-,-}				A10	{a, bc,-}	A19	{-, a, bc}
A2 {-, abc,-}				A11 {b, ac,-}		A20 {-, b, ac}
A3 {-,-, abc}				A12	{c, ab,-}	A21 {-, c, ab}
A4 {ab, c,-}				A13 {a,-, bc}		A22	{a, b, c}
A5	{ac, b,-}			A14 {b,-, ac)		A23	{a, c, b}
A6	{bc, a,-}			A15 {c,-, ab}		A24	{b, a, c}
A7 {ab,-, c}				A16	{-, ab, c}	A25	{b, c, a}
A8	{ac,-, b}			A17	{-, ac, b}	A26 c, a, b}
A9	{bc,-, a}			A18 {-, bc, a}		A27	{c, b, a}
Число исходов Ai : N (Ω) =33=27.
Вероятность каждого из них равна
Р ( Ai ) =		1	(i = 1, 2, …, 27).
	27

90