Chast_10_TV

чено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 неза висимых испытаний.

	10. Задан		закон распределения двумерной ДСВ.
		yi
xi	-1	0	1
4	0,15	0,3	0,35 .

50,05 0,05 0,1

Вычислить вероятность события А = (X = 1;Y Ј 0)

Вариант 7

1. Дискретная случайная величина X задана законом рас
пределения:	x	3	4	7 10	. Найти вероятность Р, по
	p	0,2	P	0,4 0,3

строить многоугольник распределения и график функции рас пределения.

2. В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ

Х.

3. ДСВ X , Y ,			Z независимы. Известно, что M[X ] = 1,
M[Y ] = 3, M[Z ] = 2 ,			D[X ] = 0,5;	D[Y ] = 0,2 ; D[Z ] = 0,3 . Найти
математическое ожидание и дисперсию ДСВ U = 3X + 2Y + Z .
4. Задана	плотность			распределения	НСВ	Х
мx +C; x О[0; 1]
п		2 . Найти постоянную С, функцию распре
p(x) = н	1
п		]
п 0; x П[0;	2
о

деления и вероятность выполнения неравенства -1 Ј x Ј 14 .

5.В условиях задачи 4 определить моду, математическое ожи дание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение НСВ Х.

6.Ошибка радиодальномера подчинена нормальному за кону. Математическое ожидание этой ошибки равна 2,5 м,

асреднее квадратичное отклонение — 5 м. Найти вероятность того, что измеренное расстояние будет отклоняться от истин ного не более, чем на 10 м.

211

7.НСВ Х распределена нормально с математическим ожи данием a = 15. Вероятность попадания Х в интервал (15;25) равна 0,30. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (5;15)?

8.НСВ Х распределена по показательному закону с пара метром l = 0,1. Найти вероятность того, что в результате испы тания НСВ Х примет значение, меньшее 3.

9.Распределение случайной величины Х дается следующей

таблицей: x			-1			0	2			4	6 . Чему равна	вероят
		p	0,2			0,4	0,3			0,05	0,05
ность того, что					X - M(X )				< 5 ? Оценить эту вероятность, поль
зуясь неравенством Чебышева.
	10. Задан		закон				распределения двумерной					ДСВ
		yi
xi	3	10	12
4	0,17	0,13	0,25.

50,10 0,30 0,05

Вычислить вероятность события А = X = 4;Y Ј10.

Вариант 8

1.Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты. Для случайного числа появлений герба получить закон распре деления, построить многоугольник распределения и график функции распределения.

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ x = {число появлений герба} .

3.ДСВ Х распределена по закону Пуассона с параметром a = 5. Определить вероятность того, что ДСВ Х примет значе

ние от 1 до 3.

м1 ; x О[0;C]

4. Задана плотность распределения НСВ Х p(x) = пн3 .

по0; x П[0;C]

Найти постоянную С, функцию распределения и вероятность выполнения неравенства -3 Ј x Ј 3.

212

5.В условиях задачи 4 определить начальные и централь ные моменты первого и второго порядка НСВ Х.

6.НСВ Х распределена по нормальному закону с параме трами a =11;s = 4 . Определить вероятность выполнения нера венства 11,5 < x <13,5.

7.В условиях задачи 6 найти длину интервала, симметрич ного относительно математического ожидания, в который

свероятностью 0, 984 попадет НСВ Х в результате испытания.

8.НСВ Х распределена по показательному закону с пара метром l = 5. Найти вероятность того, что в результате испы тания НСВ Х примет значение, лежащее на интервале (0,05; 0,50).

9.Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,25. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить веро ятность того, что число X появлений события будет заключе но в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испы таний.

	10. Задан		закон	распределения	двумерной	ДСВ
		yi
xi	-1	0	1
4	0,15	0,3	0,35 .

50,05 0,05 0,1

Установить, зависимы ли компоненты X и Y .

Вариант 9

1.Брошены две одинаковые игральные кости. ДСВ — чис ло появлений пяти очков. Получить закон распределения ДСВ. Построить график функции распределения.

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ x = {число появлений пяти очков}

3.Студент М. знает 20 из 25 вопросов экзаменационной программы. Экзаменатор прекращает задавать вопросы тог да, когда студент М. не отвечает. Определить математическое ожидание ДСВ x = {число заданных вопросов}. Определить ве роятность того, что студент М. не ответит на третий вопрос.

213

4. Плотность распределения НСВ X задана выражением:

п	[		]
мax2	, x О	0;1 ,		Найти значение параметра a , функцию
p(x) = н	П[0;1].
п0, x
о
распределения			и вероятность выполнения неравенства
0 Ј x Ј 0,25 .

5.В условиях задачи 4 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение НСВ

Х.

6.НСВ Х распределена по стандартному закону. Опреде лить вероятность выполнения неравенства -2 < x < 2 .

7.В условиях задачи 6 найти длину интервала, симметрич ного относительно математического ожидания, в который

свероятностью 0, 994 попадет НСВ Х в результате испытания.

8.НСВ Х распределена по показательному закону с пара метром l = 0,02. Найти вероятность того, что в результате ис пытания НСВ Х примет значение, меньшее 6.

9.Пусть в результате 100 независимых испытаний найдены

значения случайной величины X : x1, x2,..., x100 . Пусть матема тическое ожидание M(X ) = 10 , а дисперсия D(X ) = 1. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины и ее математическим ожиданием будет меньше 0,5.

10.В кольце 1 Ј x2 + y2 Ј 4 двумерная плотность вероятности

p(x, y) =	C		; вне кольца	p(x, y)	= 0. найти постоянную С.
	x2	+ y2

Вариант 10

1.Опыт состоит из двух независимых бросаний монеты. Для случайного числа появлений герба получить закон распре деления, построить многоугольник распределения и график функции распределения.

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ x = { число появлений герба }

214

3. ДСВ X		и Y независимы. Известно,			что M[X ] = 2 ,
M[Y ] = 3, D[X ] = 1 ; D[Y ] = 4 . Найти математическое ожидание
и дисперсию ДСВ U = 3X + 5Y .
4. Задана		плотность		распределения	НСВ	Х
мC sin x; x О[0;p]			. Найти постоянную С, функцию распре
p(x) = н	0; x П[0;p]
о

деления и вероятность выполнения неравенства p2 Ј x Ј p.

5.В условиях задачи 4 определить моду, математическое ожи дание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение НСВ Х.

6.По данным Н-ского военкомата, рост призывников рас пределен по нормальному закону с математическим ожидани ем 180 см и дисперсией 8 см. Определить вероятность того, что рост наудачу выбранного призывника не отклонится от мате матического ожидания более чем на 15 см.

7.Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожида нием 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не ме нее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет меньше 40 мм.

8.НСВ Х распределена по показательному закону с пара метром l = 0,1. Найти вероятность того, что в результате испы тания НСВ Х примет значение, большее 5.

9.Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0,05. Пусть СВ Х — число бракованных деталей в партии из 10 дета лей. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между Х и M[X ] ока жется меньше двух.

	10.Задан		закон	распределения	двумерной	ДСВ
		yi
xi	3	10	12
4	0,17	0,13	0,25.

50,10 0,30 0,05

Установить, зависимы ли компоненты X и Y.

215

Вариант 11
	1. ДСВ			Х	задана	законом	распределения:
x	2	3	5	8	. Найти вероятность Р, построить многоу
p	0,2	0,1	P	0,15

гольник распределения и график функции распределения.

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожи дание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ Х.

3.ДСВ Х распределена по закону Пуассона с параметром a = 5. Определить вероятность того, что ДСВ Х примет значе

ние от 0 до 3.
4. Задана		плотность				распределения	НСВ	Х
мAcosx; x О[- p; p]
п				2	2 . Найти постоянную А, функцию рас
p(x) = н
п	0; x П[-	p p
			;		]
п		2		2
о

пределения и вероятность выполнения неравенства - p4 Ј x Ј p4 .

5.В условиях задачи 4 определить моду, медиану, матема тическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное откло нение НСВ Х.

6.Средний вес спортсменов в секции греко-римской борь бы имеет нормальное распределение с математическим ожида нием 88 кг и дисперсией 10 кг. Определить вероятность того, что вес наудачу выбранного спортсмена от 65 до 78 кг.

7.НСВ Х распределена по нормальному закону с параме трами a = 130; s = 12. Определить вероятность того, что в ре зультате опыта НСВ Х примет значение, меньшее 100.

8.НСВ Х распределена по показательному закону с пара метром l = 3. Найти вероятность того, что в результате испыта ния НСВ Х примет значение, лежащее в интервале (0,05; 1,5)

9.В сеть освещения параллельно включены 20 светодио дов. Вероятность того, что за время Т светодиод включится, равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероят ность того, что абсолютная величина разности между числом включенных светодиодов и средним числом включенных све тодиодов за время Т окажется меньше трех.

216

10.Задана функция		распределения двумерной СВ:
м1 - 3- x -	3- y + 3- x-y ;x і 0; y і 0
п			. Найти двумерную плот
F (x, y) = н
п0,(x < 0)или(y < 0)
о

ность распределения вероятности системы.

Вариант 12

1.Отрезок АВ разделен точкой С так, что АС: СВ = 2:1. На этот отрезок наудачу брошены 3 точки. Получить закон рас пределения числа точек, попавших на СВ; построить график функции распределения. Предполагается, что вероятность по падания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка.

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ x = { число точек, попавших на СВ }

3. ДСВ X , Y , Z независимы. Известно, что M[X ] = 4 , M[Y ] = 3, M[Z ] = 1, D[X ] = 1,5 ; D[Y ] = 1 ; D[Z ] = 0,5 . Найти ма

тематическое ожидание и дисперсию ДСВ U = X + 2Y + 3Z .
4. Задана	плотность		распределения	НСВ	Х
мAx; x О[0;3]		. Найти постоянную А, функцию распреде
p(x) = н
о 0; x П[0;3]

ления и вероятность выполнения неравенства 2,5 Ј x Ј 3,5.

5.В условиях задачи 4 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение НСВ.

6.НСВ Х распределена по стандартному закону. Опреде лить вероятность выполнения неравенства 0 < x <1,5 .

7.В условиях задачи 6 найти длину интервала, симметрич ного относительно математического ожидания, в который

свероятностью 0, 995 попадет НСВ Х в результате испытания.

8.НСВ Х распределена по показательному закону с пара метром l = 0,04. Найти вероятность того, что в результате ис пытания НСВ Х примет значение, большее 6.

9.Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0,05. Пусть СВ Х — число бракованных деталей в партии из 10 дета лей. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между Х и M[X ] ока жется не меньше двух.

217

10. Задана				плотность распределения двумерной СВ:
p(x, y) =				C			. Найти постоянную С.
	(	x2	+	1	y2 + 4	)
				)(

Вариант 13

1.В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Наудачу ото браны два шара. Составить закон распределения числа белых шаров среди отобранных шаров. Построить график функции распределения.

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ x = {число белых шаров}.

3.Студент Н. знает 15 из 25 вопросов экзаменационной программы. Экзаменатор прекращает задавать вопросы тогда, когда студент Н. не отвечает. Определить математическое ожи дание ДСВ x = {число заданных вопросов}. Вычислить вероят ность того, что студент Н. не ответит уже на второй вопрос.

4.Плотность распределения НСВ X задана выражением:

п	[	]
мax2	, x О	0;2 ,	Найти значение параметра a , функцию
p(x) = н	П[0;2].
п0, x
о

распределения и вероятность выполнения неравенства 1 Ј x Ј 2.

5.В условиях задачи 4 определить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение НСВ.

6.Производится взвешивание некоторого вещества без си стематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания под чинены нормальному закону со среднеквадратичным отклоне нием s = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной ве личине 10 г.

7.НСВ Х распределена по нормальному закону с параме трами a = 20; s = 2. Определить вероятность того, что в резуль тате опыта НСВ Х примет значение, большее 25.

8.НСВ Х распределена по показательному закону с пара метром l = 1,5. Найти вероятность того, что в результате испы тания НСВ Х попадет в интервал (0,5; 2,5).

9.В сеть освещения параллельно включены 20 светодио дов. Вероятность того, что за время Т светодиод включится,

218

равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероят ность того, что абсолютная величина разности между числом включенных светодиодов и средним числом включенных све тодиодов за время Т окажется не меньше трех.

	10. Задана		функция распределения					двумерной СВ:
		м1 - 2- x - 2- y + 2- x-y ;x і 0; y і 0
		п					. Найти двумерную плот
F (x, y) = н			< 0)или(y < 0)
		п0,(x
		о
ность распределения вероятности системы.
Вариант 14
	1. ДСВ		X		задана	законом		распределения:
x	-3	-2	-0,5	0	. Найти вероятность Р, построить функ
p	0,55	0,1	0,1	P

цию распределения, определить вероятность того, что ДСВ Х примет отрицательное значение.

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожи дание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ Х.

3.Брошены n игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех костях.

4. Задана		плотность		распределения	НСВ	Х
мCarctg; x О[-1;1]			. Найти постоянную С, функцию рас
p(x) = н	0; x	П[-1;1]
о

пределения и вероятность выполнения неравенства

-	1		Ј x Ј			1		.
	3						3
	5.		Задана						)	плотность		распределения	НСВ	Х
			п		(					; x О[-1;1]
			м	1		1 - x					. Определить моду, математическое
p(x) = н				2
			п				0; x		П[-1;1]
			о

ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение НСВ. 6. По данным М-ского военкомата рост призывников рас пределен по нормальному закону с математическим ожидани ем 178 см и дисперсией 6 см. Определить вероятность того, что рост наудачу выбранного призывника отклонится от матема

тического ожидания менее чем на 10 см.

219

7.НСВ Х распределена по нормальному закону с параме трами a = 65; s = 3. Определить вероятность того, что в резуль тате опыта НСВ Х примет значение, меньшее 52.

8.НСВ Х распределена по показательному закону с пара метром l = 0,08. Найти вероятность того, что в результате ис пытания НСВ Х попадет в интервал (2; 6).

9.Вероятность появления события А в каждом испытании равно 0,5. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить веро ятность того, что число X появлений события А будет заклю чено в пределах от 80 до 120, если будет произведено 200 неза висимых испытаний.

	10. Задана			плотность распределения				двумерной СВ:
p(x, y) =				C		. Найти постоянную С.
			(x2 + 9)(y2 +16)
Вариант 15
	1.	ДСВ		X	задана		законом	распределения:
x	-1	2		3	9 . Найти вероятность Р, построить много
p	0,1	0,25		P	0,15

угольник распределения и функцию распределения.

2.В условиях задачи 1 определить моду, математическое ожи дание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ Х.

3.В урне находятся 3 белых и 7 черных шаров. Наудачу отобраны два шара. Найти математическое ожидание и дис персию ДСВ x = {число белых шаров} .

м1 ; x О[C;2]

4. Задана плотность распределения НСВ Х: p(x) = пн4 .

по 0; x П[C;2]

Найти постоянную С, функцию распределения и вероятность выполнения неравенства 1,5 Ј x Ј 2 .

5.В условиях задачи 4 определить начальные и централь ные моменты НСВ первого и второго порядка.

6.НСВ Х распределена по стандартному закону. Опреде лить вероятность выполнения неравенства -10 < x < -0,5.

7.В условиях задачи 6 найти длину интервала, симметрич ного относительно математического ожидания, в который

свероятностью 0, 9973 попадет НСВ Х в результате испытания.

220