Chast_10_TV

рой вопрос при этом P (A2 ) = 295 . Следовательно, вероятность, что

6

5

1

студент не

сдаст зачет,

P (A1A2 ) = P (A1 )P (A2 / A1 ) =

Ч

=

.

30

29

29

Но тогда

вероятность,

что данный студент сдаст

зачет,

P (

) = 1- P (A1A2 ) = 28

= 0,97 .

A1A2

29

Ответ: 0,97

5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

5.1. Формула полной вероятности

№ 1

В тире имеется 5 ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определите вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.

Решение:

Гипотезы:

Hk ( k = 1,2,3,4,5) {взято k -е ружье}; P (Hk ) = 15 .

Событие A {попадание при одном выстреле из наудачу взятого ружья}.

По формуле полной вероятности

P (A) = 15 (0,5+0,6+0,7+0,8+0,9) = 0,7.

Ответ: 0,7

№ 2

Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Найдите вероятность того, что это изделие бракованное.

Решение:

Рассмотрим гипотезы, что переложенное изделие H1 {годное}; H2 {бракованное}.

121

	P (H1 ) =	11	; P (H2 ) =		1	.
		12		12

Событие A {изделие, взятое из второй партии, оказалось бракованным}.

P (A / H1 ) =		1	; P (A / H2 ) =		2	.
	11
				11

По формуле полной вероятности

P (A) = P (H1 )P (A / H1 ) + P (H2 )P (A / H2 ) =

= 1211 Ч111 + 121 Ч112 = 13213 = 0,098.

Ответ: 0,098

№ 3

Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса. Студент может ответить только на 25 вопросов. Найдите вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

Решение:

Гипотезы:

H1 {студент знает ответ на все вопросы билета};

H2 {студент знает ответ только на один вопрос билета}; H3 {студент не знает ответов на вопросы билета}.

Всего в билетах 30 вопросов, 25 из которых студент знает, а 5 — не знает.

P (H1 ) =	C	2		60	,P (H2 ) =	C1	ЧC1			25	, P (H3 ) =	C2		2	.
		252	=			25	2	5	=				52 =
	C			87		C				87		C		87
		30					30						30

Событие А — {экзамен сдан}; условные вероятности:P (A H1 ) = 1, P (A H2 ) = 2428 , P (A H3 ) = 0 .Тогда по формуле полной вероятности

3

= 60

Ч1+ 25 Ч 24 =

P

(

A

)

=

е

P

(

H

P

A / H

k )

k ) (

87

87 28 .

k=1

190203 = 0,936

Ответ: 0,936

122

№ 4

На рисунке изображена схема дорог. Туристы вышли из пункта A, выбирая на развилках наудачу один из возможных путей. Какова вероятность, что они попадут в пункт B?

Решение:

Гипотезы:

H1 {туристы выбрали путь C};

H2 {туристы выбрали путь D};

H3 {туристы выбрали путь E};

H4 {туристы выбрали путь F}.

Вероятность каждой из этих гипотез P (Hk ) = 14 . Вероятности попасть в пункт B при каждой из этих гипотез равны соответственно

P (A / H1 )

=

1; P (A / H2 ) =

1

; P (A / H3 ) = 1;

3

2

Тогда по форму-

P (A / H4 ) =

2;

5

ле полной вероятности

(

)

4

(

k )

(

k )

=

е

A / H

=

P

A

P

H

P

k=1

=

1

ж

1

+

1

+1

+

2

ц

=

67

= 0,558

з

ч

4

3

2

5

120

и

ш

Ответ: 0,558

№ 5

В первой урне 10 шаров, 8 из них — белые; во второй урне 20 шаров, из них 4 — белые. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу извлекли один шар. Найдите вероятность того, что этот шар белый.

Решение:

Рассмотрим гипотезы:

H1 {выбран шар из первой урны};

H2 {выбран шар из второй урны}.

P (H1 ) = 12 ; P (H2 ) = 12 .Обозначим через A событие {шар белый}.

123

P (A / H1 ) = 108 ; P (A / H2 ) = 204 . P (A) = 12 Ч 108 + 12 Ч 204 = 0,5.

Ответ: 0,5

№ 6

45  % компьютеров, имеющихся в магазине, изготовлены на первом заводе, 15  % — на втором, остальные — на третьем. Вероятности того, что компьютеры, изготовленные на этих заводах, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96; 0,84; 0,90 соответственно. Найдите вероятность того, что купленный наудачу компьютер выдержит гарантийный срок работы.

Решение:

Событие А {компьютер выдержит гарантийный срок работы},

а гипотезы H1		{компьютер изготовлен на первом заводе}, H2
{компьютер изготовлен на втором заводе}, H3 {компьютер из-
готовлен на третьем заводе}.
События H1, H2, H3 образуют полную группу несовместных
событий, при		этом: P(H1) = 0,45; P(H2 ) = 0,15; P(H3 ) = 0,40 ,
ж	n	ц
з	еP(Hi ) = 0,45 + 0,15 + 0,40 = 1ч .
и i=1		ш

По условию

P(A H1) = 0,96;P(A H2 ) = 0,84;P(A H3 ) = 0,90 .

P(A) = P(H1)Ч P(A / H1) + P(H2 )Ч P(A / H2 ) +

P(H3 )Ч P(A / H3 ) =

= 0,45Ч 0,96 + 0,15Ч 0,84 + 0,40 Ч 0,90 = 0,918

Ответ: 0,918

№ 7

Из полного набора костей домино (28) наугад берутся две кости. Найти вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

Решение:

Из 28 костей домино 7 дублей. Гипотезы

H1 {первая кость дубль}, H2 {первая кость — не дубль}.

124

P (A) = P (H1 )P (A / H1 ) + P (H2 )P (A / H2 ) = = 287 Ч 276 + 2821 Ч 1227 = 187 = 0,3(8).

Ответ: 0,3 (8)

№ 8

В альбоме 10 чистых и 8 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 3 марки (среди них могут быть и чистые и гашеные), подвергаются специальному гашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу вынимаются три марки. Определите вероятность того, что все они — чистые.

Решение:

Событие А {все вынутые во второй раз марки — чистые}, а гипотезы H1 {среди вынутых в первый раз марок все три гашеные}, H2 {среди вынутых в первый раз марок две гашеные, одна — чистая}, H3 {среди вынутых в первый раз марок одна гашеная, две — чистые}, H4 {среди вынутых в первый раз марок все три чистые}.

		0			3											1	2												C	2	ЧC	1	45
																(H2 ) = C10 ЧC8 =
P (H	) = C10			ЧC8		=				7			,P								35		, P (H3 ) =						10		3	8 =			,
																																	102
							102
1		C183														C183			102											C18
P (H4 ) =		C3		ЧC0						15				.
		10			3 8	=
		C					102
				18
После гашения
P (A | H1 ) =			C80 ЧC103										5 ,			P (A | H2 ) =	C90 ЧC93							7 ,
										=												=
					C	3					34								C3					68
					18														18
P (A | H3 ) =			C0 ЧC3							=				7		, P (A | H4 )	=		C0 ЧC3					35
					C	3					102								C3					= 816 .
					10	8													11		7
					18																18

( ) = 7Ч120 + 35Ч84 + 45Ч56 +15Ч35 =

P A

102Ч816

= 832326825 » 0,082

Ответ: 0,082

125

№ 9

В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся 3 мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найдите вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, — новые.

Решение:

Событие A {все мячи, взятые для второй игры — новые}, гипотезы: H1 {среди взятых для первой игры мячей нет новых}, H2 {среди взятых для первой игры мячей один новый}, H3 {среди взятых для первой игры мячей два новых}, H4 {все взятые для первой игры мячи — новые}.

Вероятности гипотез:

P (H1 ) =							C		3					84							,P (H2 ) =					C2			ЧC1				216					,			P (H3 ) =	C1		ЧC2			135	,
									9			=																9		6		=											9		6	=
						C			3					455															3				455											3			455
																												C															C
								15																					15															15
									3						20
P (H4 )				= C63 =																	.
														455
							C
								15
Условные вероятности события A :
													3					12												3						8
P (A | H1 )								=			C9					=							, P	(A | H2 ) = C83									=							,
											3							65																	65
										C																				C
													15																	15
													3						1											3							4
P (A | H3 )								= C73						=									, P	(A | H4 ) = C63									=						.
																		13
										C																				C					91
													15																	15
P (A)						84							84								216			56				135		35
		=								Ч								+			455 Ч				+					Ч					+
					455								455											455				455			455
+	20	Ч		20					» 0,117
455		455

Ответ: 0,117

№ 10 В первой урне 20 белых шаров и 1 черный, во второй — 50 бе-

лых и 6 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили 11 шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Найдите вероятность того, что этот шар — белый.

Решение:

Событие А — {шар, вынутый из второй урны после перекладывания, белый}.

126

Рассмотрим две гипотезы: H1 {все переложенные шары белые},

H2 {среди переложенных шаров есть черный}. Вероятности ги-

потез

P (H1 ) =

C11

ЧC0

10

,P (H2 ) =

C10

ЧC1

=

10

.Условные вероят-

20

11 1 =

21

20

11

1

21

C

21

C

21

ности

события A :P (A

H1 ) = 50

+11

=

61

,

P (A

H2 ) = 50 +10

= 60 .

56

+11

67

56 +11

67

P (A) = P (H1 )P (A / H1 ) + P (H2 )P (A / H2 ) = = 1021 Ч 6761 + 1121 Ч 6067 = 12701407 » 0,903.

Ответ: 0,903

5.2. Формула Байеса

№ 11 5  % мужчин и 0,25  % женщин — дальтоники. Наугад выбран-

ное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек: а) мужчина; б) женщина.

Решение:

Произошло событие А {выбранный человек оказался дальтоником}. Тогда в качестве гипотез примем события H1 {выбранный человек — мужчина} и H2 {выбранный человек — женщина}. Гипотезы H1 и H2 образуют полную группу событий и

P(H1 ) = P(H2 ) = 0,5 ;

P(A | H1 ) = 0,05 и P (A | H2 ) = 0,25.

P(A) = 0,5Ч 0,5 + 0,5Ч 0,0025 = 0,02625.

а) P(H1		| A) =	P(H1 )Ч P(A | H1 ))	=	0,5Ч 0,05		= 0,952 ,
			P(A)		0,02625
б) P(H	2	| A) = P(H2 )Ч P(A | H2 )		= 0,5Ч 0,0025 = 0,048
			P(A)		0,02625
Заметим, что сумма условных						вероятностей гипотез
P(H1 | A) + P(H2 | A) = 1.

Ответ: 0,952; 0,048

127

№ 12

Вгруппе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовились отлично, 4 — хорошо, 2 — удовлетворительно, 1 — плохо.

Вэкзаменационных билетах 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, удовлетворительно — на 10, плохо — на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найдите вероятность того, что этот студент подготовлен а) отлично, б) плохо.

Решение:

Рассмотрим гипотезы:

H1 {студент подготовлен отлично};

H2 {студент подготовлен хорошо};

H3 {студент подготовлен удовлетворительно}; H4 {студент подготовлен плохо}.

Событие А {студент ответил на три заданных вопроса}.

P (H1 ) = 0,3; P (A / H1 ) = 2020 Ч 1919 Ч 1818 = 1;

P (H2 ) = 0.4; P (A / H2 ) = 1620 Ч1915 Ч1418 » 0,491;

P (H3 ) = 0,2; P (A / H3 ) = 1020 Ч199 Ч188 » 0,105;

P (H4 ) = 0,1; P (A / H4 ) = 205 Ч194 Ч183 » 0,009.

После опыта:

а)P (H1 / A) = 0,3Ч1 » 0,3Ч1 + 0,4 Ч 0,491 + 0,2Ч 0,105 + 0,1Ч 0,009

» 0,58

	б)P (H4	/ A) =				0,1Ч 0,009		»
			0,3	Ч1	+ 0,4	Ч 0,491 + 0,2Ч 0,105	+ 0,1Ч 0,009
	» 0,002

Ответ: 0,58; 0,002

128

№ 13 Три сестры Алиса, Бетти и Шарлота поочередно моют посуду.

Вероятность разбить тарелку для Алисы — 0,04, для Бетти — 0,03, для Шарлоты — 0,02. Какова вероятность того, что Алиса мыла посуду, если родители услышали звон разбитой тарелки?

Решение:

Гипотезы H1 {посуду моет Алиса}, H2 {посуду моет Бетти} H3 {посуду моет Шарлота, событие A {посуда разбита}. По условию:

P(H1) =P(H2 ) = P(H3 ) = 13 ,

P(A / H1 ) = 0,04; P(A / H2 ) = 0,03;

P(A / H3 ) = 0,02.

По формуле полной вероятности:

P(A) = 13 (0,04 + 0,03 + 0,02) = 0,09

Найдём вероятность того, что посуду мыла Алиса:

P(H	1	/ A) = P(H1)Ч P(A / H1 )	= 0,04 = 4 = 0,44 .
		P(A)	0,09 9
Ответ: 0,44

№ 14 Пассажир может приобрести билет в одной из трёх касс. Веро-

ятности обращения в ту или иную кассу равны 0,2; 0,3; 0,5. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира к кассе все билеты будут проданы, равна 0,2; 0,3; 0,4. Определите вероятность того, что пассажир купит билет, и ответьте на вопрос, в какой кассе вероятнее всего он купил билет?

Решение:

Гипотезы H1 {билет куплен в первой кассе}, H2 {билет куплен во второй кассе}, H3 {билет куплен в третьей кассе}, событие A пассажир купил билет в третьей кассе}. По условию:

P(H1 ) = 0,2; P(H2 ) = 0,3; P(H3 ) = 0,5							,
P(A		/ H1 ) = 0,2;P(A / H2 ) = 0,3;P(A / H3 ) = 0,4 .
Нас интересует вероятность противоположного события {би-
лет будет куплен}.
P(A / H1 ) = 1 - 0,2 = 0,8; P(A / H2 ) = 1 - 0,3							= 0,7;

P(A / H3 ) = 1 - 0,4 = 0,6.

129

По формуле полной вероятности:

P(A) = 0,2Ч 0,8 + 0,3Ч 0,7 + 0,5Ч 0,6 = 0,67.

Найдём условные вероятности того, что билет куплен в той или иной кассе:

P(H1 / A) =	P(H1)Ч P(A / H1)	=	0,2Ч 0,8	= 0,238 ,
	P(A)		0,67
P(H2 / A) =	P(H2 )Ч P(A / H2 )	=	0,3Ч 0,7	= 0,31 ,
	P(A)		0,67
P(H3 / A) =	P(H3 )Ч P(A / H3 )	=	0,5Ч 0,6	= 0,44 .
	P(A)		0,67

Вероятнее всего, что билет был куплен в третьей кассе.

Ответ: 0,67

6. Схема Бернулли

6.1. Формула Бернулли

№ 1

Монета подброшена 10 раз. Найдите вероятность того, что герб выпал 5 раз.

Решение:

5	ж 1		ц5	ж 1		ц5
P10 (5) = C10	з	2	ч	з	2	ч .
	и		ш	и		ш

	C105 =	10!	=	1Ч 2Ч3Ч 4 Ч5Ч 6Ч 7Ч8Ч 9Ч10			= 252			,
		5! 5!		1Ч 2Ч3Ч 4 Ч5Ч1Ч 2Ч3Ч 4 Ч5
	следовательно, P10 (5) = 252Ч				1	=			252	» 0,246.
					10			1024
				2

Ответ: 0,246

№ 2

Какова вероятность того, что при 10 бросаниях игральной ко-

сти два раза выпадут три очка? Решение:

P =C2 ж 1 ц2 ж 5 ц8 » 0,029 . 2,10 10 из 6 шч из 6 шч

Ответ: 0,029

130