5.3. Модель дуо6олию Штакельберга

В рассмотренных выше моделях Курно предполагалось, что фирмы обладают одинаковой рыночной силой, и их поведение определяется одновременно. Рассмотрим теперь ситуацию, когда фирмы неодинаковы по силе, а выбор объема производства осуществляется последовательно: сначала объем производства определяется для более «сильной» фирмы, затем «слабая» фирма выбирает свою линию поведения.

Модель асимметричной дуополии, предложенная Штакельбергом в 1934 г., представляет развитие моделей количественной дуополии Курно. Асимметрия дуополии Штакельберга заключается в том, что дуополисты могут придерживаться разных типов поведения: стремиться быть «лидером» или оставаться «последователем». «Последователь» Штакельберга придерживается предположений Курно, он следует своей кривой реагирования и принимает решения о прибылемаксимизирующем выпуске, полагая выпуск соперника заданным. «Лидер» Штакельберга, напротив, не столь наивен, как обыкновенный дуополист Курно. Он хорошо понимает рыночную ситуацию и не только знает кривую реагирования соперника, но и инкорпорирует ее в свою функцию прибыли, так что последняя принимает вид

_i = f(q_i, R_j(q_i)),

где R_j(q_i) – кривая реагирования дуополиста j на величину выпуска, предложенного дуополистом i.

В случае дуополии возможны четыре комбинации двух типов поведения:

1. дуополист 1 – «лидер», дуополист 2 – «последователь»;

2. дуополист 2 – «лидер», дуополист 1 – «последователь»;

3. оба дуополиста – «последователи»;

4. оба дуополиста – « лидеры».

Случаи 1 и 2 симметричны. Случай 3 в содержательном смысле есть ситуация дуополии Курно, когда каждый из дуополистов руководствуется своими кривыми реагирования, а в случае 4 каждый из дуополистов, стремясь стать «лидером», определяет максимум своей прибыли исходя из предположения, что он является «лидером», а соперник – «последователем». Результат подобного взаимодействия – неравновесие по Штаккельбергу, ведущее к развязыванию ценовой войны, которая ведет либо к отказу одного из дуополистов от роли «лидера», либо к достижению между ними сговора.

Рассмотрим случай 1. Представим функцию «лидера» для дуополиста 1 в виде

₁ = f(q₁, R₂(q₁)). (6.7)

При описании уравнения прибыли дуополиста 1 воспользуемся выражением (6.6), подставив в него значение q₂, т.е. уравнение кривой реагирования дуополиста 2, которой соответствует линия R₂(q₁) на рис. 6.2. Тогда уравнение прибыли примет вид

,

что равносильно

Максимум прибыли находим, решая уравнение

,

откуда

. (6.8)

Это и есть оптимальный выпуск «лидера» в модели Штаккельберга. Прибылемаксимизирующий выпуск «последователя» получим, подставив значение выпуска дуополиста 1 (6.8) в уравнение кривой реагирования дуополиста 2 (5.5):

Таким образом, прибылемаксимизирующий выпуск «последователя» вдвое ниже прибылемаксимизирующего выпуска «лидера». Общий выпуск «лидера» и «последователя» равен

.

Используя значение отраслевого выпуска, с помощью обратной функции рыночного спроса найдем равновесную цену олигополии в модели Штаккельберга для случая «лидера» и «последователя». Она будет равна

.

Величины Q = q₁ +q₂ и P называют параметрами равновесия по Штаккельбергу.

Определим прибыли «лидера» и «последователя» в условиях равновесия:

,

,

откуда ₁ = 2₂.

Заметим, что прибыль «лидера» вдвое превышает прибыль «последователя», будь то дуополист 1 или 2. Стратегическое поведение «лидера», учитывающее будущую реакцию конкурента на рынке, приносит ему «преимущество первого хода». Поэтому-то и тот и другой предпочтут оказаться лидерами.

Графическая иллюстрация равновесия по Штаккельбергу для дуополии представлена на рис. 6.3.

Ниже приведены основные параметры равновесия Штакельберга:

Выпуск			Прибыль		Рыночная цена
лидера	последователя	отрасли	лидера	последователя
(a - c)/2b	(a - c)/4b	3(a - c)/4b	(a - c)^2/8b	(a - c)^2/16b	(a +3 c)/4

Когда обе фирмы придерживаются предположительных изменений по Курно, равновесие будет в точке С – на пересечении двух кривых реакции. В этом случае q₁ = q₂ = (a-c)/3b. Предположим, что на увеличение выпуска фирмой 1 фирма 2 отвечает в соответствии с ее кривой реакции R₂(q₁). Тогда фирма 1 может увеличить объем производства чему соответствует более высокая кривая изоприбыли ₁¹ на рис. 6.5. Точка касания S является точкой равновесия по Штаккельбергу. Поскольку фирма 1 принимает на себя инициативу в определении объема производства, то она является «лидером» по Штаккельбергу; фирма 2, принимая производство «лидера» как данный факт, является «последователем».

При отсутствии существенного конкурентного преимущества у одной фирмы перед другой неравенство прибыли приведет к ситуации, когда оба дуополиста предпочтут оказаться лидерами (случай 4). Но тогда значения прибылемаксимизирующих выпусков обоих стремящихся стать лидерами дуополистов определяются значением (6.8), а их подстановка в уравнение линейной обратной функции спроса определяет цену:

.

Это равенство цены предельным затратам означает, что прибыль дуополистов равна нулю, что несовместимо с выводом о стабильности. Таким образом, при некотором изменении предположений о поведении дуополистов ситуация переходит в неравновесие.

Другим примером неравновесия дуополии в модели Штаккельберга, при котором фирмы имеют положительные прибыли, может служить ситуация, когда обе фирмы считают, что конкурент будет вести себя как дуополист в модели Курно. Пусть фирма 1 считает, что фирма 2 будет реагировать соответственно кривой реакции Курно, а фирма 2 полагает, что фирма 1 будет реагировать соответственно кривой реакции Курно, т.е.

;

.

Тогда предположительные вариации соответствуют компенсирующему поведению и будут равны

и ,

поэтому

;

(6.9)

и кривые реакции фирм имеют следующий вид:

, .

В результате получим неравновесие по Штаккельбергу

, ,

при котором обе фирмы получают меньшую прибыль, чем при равновесии по Курно (равновесие по Курно имеет место в точке переключения с компенсирующего на параллельное поведение). При этом

.

На рис. 5.4 приведены кривые реакции и изопрофиты для каждой фирмы. Согласно свойствам изопрофит, прибыль фирмы возрастает по мере увеличения по соответствующей оси объема выпуска и достигает максимума в «монопольной точке».

Равновесие по Штаккельбергу для фирмы 1 S₁ на рис. 6.6 соответствует точке касания кривой равной прибыли для фирмы 1 с кривой реакции фирмы 2, а для фирмы 2 – в точке S₂, в которой кривая равной прибыли для фирмы 2 касается кривой реакции 1 фирмы. Точка неравновесия Штаккельберга лежит выше точки равновесия по Курно.

Таким образом, существуют различные модели олигополии. Применение той или иной модели при анализе рынка зависит от характеристик рынка и возможностей фирмы влиять на рыночную цену или объем выпуска. Модели Курно и Штакельберга применяются при исследованиях рынков, когда у фирм существуют фиксированные производственные планы, так что относительно трудно изменить количество выпускаемого продукта, если план уже принят. Это характерно для отраслей с длительным сроком изготовления товара (тяжелая промышленность, самолетостроение, производство уникального оборудования, судостроение и т.д.), а также для тех отраслей, где фирмам необходимо инвестировать значительные средства в специализированное оборудование для сбыта данного товара (например, строительство крупного универмага). На таких рынках изменение цен товаров более вероятно, чем изменение объемов продаж. Модель Бертрана и Эджуорта применяются в тех случаях, когда фирмам сложнее корректировать принятые цены. Примерами могут служить продажи по каталогам, тендеры, аукционы, причем преимущественно в отраслях, производящих товары потребительского назначения. В этом случае, напротив, изменение цен менее вероятно, чем изменение объемов продаж.

Модель Бертрана в отличие от моделей Курно и Штакельберга предполагают наличие ценового взаимодействия фирм на олигополистическом рынке. Таким образом конкуренция заключается в том, что каждая фирма устанавливает свою цену